浙江省2018版高考数学一轮复习 专题：07 数列中不等式证明特色训练.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 七、数列中不等式证明 一、解答题 ‎1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎【答案】（1）；(2)证明过程见解析 ‎（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据得，所以.‎ 试题解析：（1）∵.‎ ‎∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎∴，即.‎ ‎(2)证明：∵，，‎ ‎∴.‎ ‎2．【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列满足， ．‎ ‎（）求的通项公式．‎ ‎（）设等比数列满足， ，问： 与数列的第几项相等？‎ ‎（）试比较与的大小，并说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】（） （）（）‎ 试题解析：‎ ‎（）∵是等差数列，‎ ‎，‎ ‎∴解出， ，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（）∵，‎ ‎，‎ 是等比数列，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴与数列的第项相等．‎ ‎（）猜想，即，即，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时， ，显然成立，‎ ‎②假设当时， 成立，即成立；‎ 则当时， ‎ ‎，‎ 成立，‎ 由①②得，猜想成立．‎ ‎∴．‎ ‎3．【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.‎ ‎（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（II）设，数列的前项和，求证： .‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析.‎ 试题解析：（I）由已知易得，由 得即； ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,‎ 又,‎ 是以为首项，以为公比的等比数列. ‎ 从而 即，整理得 即数列的通项公式为. ‎ ‎4．【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且， ， 成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证： ．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：（1）数列为等差数列，所以： ， ， ，因为， 成等比数列，所以： ，解得： ，所以： .‎ ‎（2）已知， ①②，①-②得： ，所以：‎ ‎，由于，所以： ， . ‎ ‎5．【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中， ，其前项的和为，且满足.‎ ‎(Ⅰ) 求证：数列是等差数列；‎ ‎(Ⅱ) 证明： ‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时， , ， ，‎ 从而构成以4为首项，2为公差的等差数列. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知， .‎ ‎.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列满足：，（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 试题解析：（Ⅰ）解：，‎ 所以是以2为公差的等差数列，，‎ 所以，‎ 所以数列的通项公式为. ‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ ‎7．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足， 的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）设， 为数列的前项和，求证： .‎ ‎【答案】（1） （2）略 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，‎ 所以有，解得，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎8．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列的前项和满足： .‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求证： .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据当时， ，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）证明： ． ‎ 由， ‎ 所以， ‎ 所以． ‎ 因为，所以，即．‎ ‎9．【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式 ；（Ⅱ）化简 ，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.‎ 试题解析：(Ⅰ)由，则 .‎ 当时，，综上. ‎ ‎（Ⅱ）由.‎ ‎ ‎ ‎. 得证. ‎ ‎10．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知， 分别为等差数列和等比数列， ， 的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.‎ 请你求出解析式，并证明： .‎ ‎【答案】（1）,（2）见解析 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：（1）由得，又，所以 ‎∴.‎ ‎∵的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以， ，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ 令的公比为，则.‎ 又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，‎ 解得.所以.‎ ‎∵，‎ 因为，所以当时， 有最小值为，所以.‎ ‎11．【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列满足，则，且，，，成等比数列.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：….‎ ‎【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）见解析.‎ 试卷解析：‎ ‎（Ⅰ）由及，，，成等比数列得，‎ 即，解得，，‎ 又，所以，‎ ‎ ，‎ 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ ‎.‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎12．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列满足： ， .为数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时， .‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证法一：因为，‎ ‎∴时， ，‎ ‎∴ ，即，‎ 当时， ，综上， .‎ 证法二：考虑到数列的前项和为，猜想，‎ 当时，结论显然成立.假设时， 成立，‎ 则当时，由，得 ‎ ‎ ‎，结论成立.‎ 综上：对任意，有，‎ 以下同解法一.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 从而 ，‎ 当时， ， ，‎ 所以 ，‎ 令 设为不小于的最小整数，取 (即)，‎ 当时， .‎ ‎13．【2016高考浙江理数】设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：（I）由得，故 ‎，，‎ 所以 ‎，‎ 因此 ‎．‎ ‎（II）任取，由（I）知，对于任意，‎ ‎，‎ 故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ 从而对于任意，均有 ‎．‎ 由的任意性得． ①‎ 否则，存在，有，取正整数且，则 ‎，‎ 与①式矛盾．‎ 综上，对于任意，均有．‎ ‎14．【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列中，，，其中，．‎ ‎（）当时，求，，的值．‎ ‎（）是否存在实物，使，，构成公差不为的等差数列？证明你的结论．‎ ‎（）当时，证明：存在，使得．‎ ‎【答案】（），，．（）存在，使，，构成公差不为的等差数列．（）证明见解析.‎ ‎（）∵，，成等差数列，∴，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 将，，代入上式，解得．‎ 经检验，此时，，的公差不为．‎ ‎∴存在，使，，构成公差不为的等差数列．‎ ‎（）∵，‎ 又，∴令．‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴，即．‎ 取正整数，则：‎ ‎．‎ 故当时，存在,使得．‎ ‎15．【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列的前项和为，且满足， 为常数．‎ ‎（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．‎ ‎（2）当时，求证： ．‎ ‎（3）当时，求证：当时， ．‎ ‎【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）若，则，即，即，‎ 则，所以不存在数列使得． ‎ ‎（2）由得，‎ 当时， ，两式相减得，‎ 即， ， ， ，‎ 当时， ，即，综上， ．‎ ‎（3）证1：由得，‎ 当时， ，两式相减得，‎ 另一方面， ，故．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 证2：由得， ，‎ 所以当时， ，下同证1.‎ ‎16．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列满足，，求证：‎ ‎（I）；‎ ‎（II）；‎ ‎（III）.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法证明；（2）作差法比较大小；(3) 因为，所以.‎ 从而. 即，所以 又，故.‎ 试题解析：‎ ‎（I）（数学归纳法）‎ ‎ 当时，因为，所以成立.‎ 假设当时，成立,‎ 则当时，.‎ 因为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 且得 所以也成立.‎ ‎（III）因为，所以.‎ 从而.‎ 所以，即.‎ 所以.‎ 又，故.‎ ‎17．【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列中，，（）．　‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：是等差数列；‎ ‎（3）设，记数列的前项和为，求证： ．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：（1）证明：当时，，满足，‎ 假设当（）时，，则当时， ，‎ 即时，满足；‎ 所以，当时，都有．‎ ‎（2）由，得，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，‎ 所以，数列是等差数列．‎ ‎（3）由（2）知，，‎ ‎∴，‎ 因此，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，，‎ 即时，，‎ 所以时，，‎ 显然，只需证明，即可．‎ 当时， ．‎ ‎18．【2017浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设， ， ，求证， ， ．‎ ‎【答案】(1) ；(2) 的取值范围为；（3）见解析．‎ 又因为点在上，则 即 ，∴ ‎ ‎（Ⅱ） 即，∴‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由图像可知： ，故的取值范围为．‎ ‎（Ⅲ）， ‎ ‎∴ ， ．‎ ‎19．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列满足， ，数列的前项和为，证明：当时，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 法求和得结论 试题解析：证明：（1）由于，则.‎ 若，则，与矛盾，从而，‎ ‎，‎ 又， 与同号，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又，则，即.‎ 从而 当时， ，从而.‎ ‎（3），‎ 叠加： .‎ ‎20．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中， ， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；‎ ‎（3）求证：当时， .‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）构造新数列，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则由已知化简可得新数列为首项为2，公比为2的等比数列，即得（2）， ，利用相邻两项的差得数列为单调递增数列，所以最小值为第一项（3）利用（2）中数列分解．‎ 试题解析：解：（1）由条件得，又，所以，因此数列构成首项为2，公比为2的等比数列，从而，因此， ．‎ ‎（3）当时， ‎ ‎，由（2）知，又， ，‎ 所以．‎ ‎21．【2017年浙江卷】已知数列满足： ‎ 证明：当时 ‎（I）;‎ ‎（II）；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(III) ‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明： ．‎ 当n=1时，x1=1>0．‎ 假设n=k时，xk>0，‎ 那么n=k+1时，若，则，矛盾，故． ‎ 因此．‎ 所以，‎ 因此．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅲ）因为，‎ 所以，‎ 由，得，‎ 所以，‎ 故．‎ 综上， ．‎ ‎22．【2017年北京卷】设和是两个等差数列，记 ，‎ 其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若， ，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时， ；或者存在正整数 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，使得是等差数列．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 试题解析：（Ⅰ） ‎ ‎，‎ ‎.‎ 当时， ，‎ 所以关于单调递减.‎ 所以.‎ 所以对任意，于是，‎ 所以是等差数列.‎ ‎（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 ‎.‎ 所以 ‎ ‎①当时，取正整数，则当时， ，因此.‎ 此时， 是等差数列.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎③当时，‎ 当时，有.‎ 所以 ‎ ‎ 对任意正数，取正整数，‎ 故当时， .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费