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十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点
一、选择题
1．【2017年云南省第二次统一检测】已知，直线与曲线只有一个公共点 ，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线化简为： ，圆心到直线的距离为 ，整理为： ，即 ，整理为 ，设 ，所以 ，解得 或 （舍），即 ，解得： ，故选C.
2．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．设，若直线与圆相切，则的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
4．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线上总存在点，使得过点作的圆： 的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由及
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知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即∴，故选C．
5．若方程的任意一组解都满足不等式，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
6．【2017届河北省衡水中学高三下第二次摸底】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，且的外接圆的方程为，将分别代入可得
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，由可得，即，所以，即，所以，应选答案A.
7．【2017届山西省实验中学高三下模拟】已知圆的方程为，过直线： （）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图,由,得圆心坐标为(3,4)，
要使切线长最小,即圆心到直线l: (a>0)的距离最小，
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8．【2017届重庆市巴蜀中学高三三诊】设是双曲线的右顶点， 是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF= ,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P, ,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.
9．【2017年湖南省考前演练卷三】中心为原点的椭圆焦点在轴上， 为该椭圆右顶点， 为椭圆上一点， ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
10．【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，
所以∠NPA=45°，
=cos∠NPA=．
故选B．
11．【2017届河北省石家庄市高三二模】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足， ，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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结合图形知，当 点为椭圆的右顶点时，
取最小值 最小值是
故选：C．
12．【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设为坐标原点， 是以为焦点的抛物线（）上任意一点， 是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由题意可得，设，则
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，可得．当且仅当时取得等号，选A.
二、填空题
13．【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】直线与抛物线交于两不同点，.其中，，若，则直线恒过点的坐标是__________．
【答案】
【解析】设直线为则得,,
直线为，恒过
故答案为.
14．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于两点， 是椭圆右焦点，则的周长的最小值为__________， 的面积的最大值为__________．
【答案】 10 .
15．【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】设圆与抛物线相交于两点， 为抛物线的焦点，若过点且斜率为
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的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，则的值__________ ，若直线与抛物线相交于两点，且与圆相切，切点在劣弧上，则的取值范是__________.
【答案】
【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为：
∵点F坐标为(0,1),∴kFB=,∴kl>kFB，
所以直线l与圆交于P1、P3两点,与抛物线交于P2、P4两点，
设
把直线l方程：y=x+1代入x2=4y,得x2−4x−4=0,∴x2+x4=4；
把直线l方程：y=x+1代入x2+y2=12,得2x2+2x−11=0,∴x1+x3=−1
∴，
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∵直线m与该圆相切,∴,即，
又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1，
∴，
∵,∴分别过A. B的圆的切线的斜率为.
∴k∈[],∴0⩽k2⩽2,∴，
∵b>0,∴b∈[]
所以|MF|+|NF|的取值范围为.
16．【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】如图，两个椭圆， 内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：
①P到F1（－4，0）、F2（4，0）、E1（0，－4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线y＝x、y＝－x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．
④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为________________．
【答案】②③
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故答案为：②③．
三、解答题
17．【2018届南宁市高三摸底】已知抛物线上一点到焦点的距离为.
（l）求抛物线的方程；
（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程，及，，设过点的直线的方程为,代入得,由韦达定理可求得为定值上。
试题解析：（1）由抛物线的定义可知，则，
由点在抛物线上，则，
∴，则，
由，则，
∴抛物线的方程.
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18．【2018届广西柳州市高三上摸底】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
【答案】（1）.（2）
【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;
(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.
试题解析：
（1）由题意设抛物线方程为，
其准线方程为，
∵到焦点的距离等于到其准线的距离，
∴，∴.
∴抛物线的方程为.
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∵
即，得： ，
∴，即或，
代人①式检验均满足，
∴直线的方程为： 或.
∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.
19．【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知动点满足： .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.
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【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析.
试题解析：（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，
且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，
所以，动点的轨迹的方程： .
（2）设， ，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：
由 得，
所以， ，
直线的方程为： ，所以，
令，则，
所以直线与轴交于定点.
20．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知椭圆
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经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线，使其满足:①直线的斜率与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在直线上.若存在，求出直线和的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ;(2) 直线的方程分别为，或，.
试题解析：
(1)由已知得，
解得，
∴椭圆的方程.
(2)设直线的方程为，代入，得
.(*)
设，，且是方程(*)的根，
∴，
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用代替上式中的，可得，
故中点横坐标为，
解得，
∴直线的方程分别为，或，.
21．【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知椭圆 的离心率为，过点的椭圆的两条切线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上是否存在这样的点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为，且直线过点？若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)满足条件的点有两个.
试题解析：
（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在轴上方的切点为，轴下方的切点为，
则，的直线方程为，
因为椭圆 的离心率为，
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所以椭圆，
所以 ，则，
所以椭圆方程为.
（Ⅱ）设点，，，
由，即，得，
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即，
∵，∴.
∵点在切线上，∴.①
同理，.②
综合①、②得，点，的坐标都满足方程.
∵经过，两点的直线是唯一的，
∴直线的方程为，
∵点在直线上，∴，
∴点的轨迹方程为.
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又∵点在椭圆上，又在直线上，
∴直线经过椭圆内一点，
∴直线与椭圆交于两点.
∴满足条件的点有两个.
22．【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C： 的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求S的范围.
【答案】(1) （2）5（3）
设直线的方程为,代入椭圆方程，消去，根据、、恰好构成等比数列，求出,进而表示出，即可得出结论。
表示出的面积，利用基本不等式，即可求出的范围。
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（2）依题意，直线斜率存在且，设直线的方程为（），、
由
，因为、、恰好构成等比数列，
所以，
即；
所以
此时
得，且（否则：，则，中至少有一个为，直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）
所以；
所以
所以是定值为5；
（3）（，且）
所以 .
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