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八、不等式中的最值与参数
一、选择题
1．【2018届河南省天一大联考高三上10月测试】已知，若，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】因为，化简可得，故，即，当且仅当是等号成立，即的最小值是8，故选C.
2．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若，则的最大值是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
3．【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】因，故，又因为，所以，当且仅当
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，即取等号，应选答案D.
4．【2017浙江卷】若x,y满足约束条件的取值范围是
A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4,
【答案】D
【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
故选：D．
5．【2018届河南省林州市第一中学高三8月调研】已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】C
【解析】由题意可得： ，由可得，
由等比数列的性质可得： 成等比数列，
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本题选择C选项.
6．【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】已知实数满足条件,则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由 ；由 ；由；由约束条件做出 的可行域如图所示，的值为可行域中的点与原点 的连线的斜率，观察图形可知 的斜率最小，所以 .故选A.
7．【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点在不等式组
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表示的平面区域上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图：
，则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，由图象知D到直线2x-y=0的距离最小，此时，所以，故选D.
8．【2018届河南省天一大联考高三10月测试】已知实数满足若的最大值为10，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】作可行域，则直线过点(3,4)时取最大值，由得，选B.
9．【2018届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】设实数满足 , 则 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出可行域如图所示：
10．【2018届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线平分圆周，则直线过圆心，所以有
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（当且仅当时取“=”），故选D.
11．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知实数， 满足若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
12．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图中阴影部分），令，当直线经过点时， 取得最大值，即，所以，故选D．
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二、填空题
13．已知，，则的最小值是________.
【答案】4
【解析】由题意可得：
当且仅当时等号成立.
据此可得的最小值是4.
14．【2017天津卷】若， ，则的最小值为___________.
【答案】4
15．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】当时，
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对任意实数都成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】当时，不等式显然成立；
当时，
而，∴，即
当时，，∴
故答案为：.
16．已知数列满足， ，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是_____．
【答案】[﹣9，+∞）
三、解答题
17．【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数.
（1）求不等式的解集；
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（2）若对任意恒成立，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）写出分段函数，再分段讨论解不等式。（2）即求f(x)的最小值，由（1）中分段函数可知最小值为，即，由于，所以
，再由重要不等式，可解。
试题解析：（1）， 或或解得或
的解集为或.
18．在中，角、、的对边分别为、、，且满足．
（1）求角的大小；
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（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式对原等式化简可求得 的值，进而求得 ．
（2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于 和 的关系式，进而利用基本不等式求得 的范围，进而求得三角形面积的最大值．
试题解析：
（1）由得
解得，
由，所以
（注：也可将两边平方）
即 ，
所以，当且仅当， 时取等号
此时，其最大值为.
19．【2018届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底】已知函数.
(1)解不等式的解集；
(2)记(1)中集合中元素最小值为，若，且，求的最小值.
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【答案】（1）；（2）4．
【解析】试题分析：
(1)零点分段可得解不等式的解集；
(2)由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的不等式，注意等号成立的条件.
试题解析：
(1) ，即为，
∴或即
∴.
(2)由(1)知，即，且，
∴
.
当且仅当时， 取得最小值4.
20．【2017届安徽省亳州市二中高三下检测】已知，函数的最小值为．
（I）求证： ；
（II）若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）实数的最大值为.
试题解析：（Ⅰ）法一： ，
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∵且，
∴，当时取等号，即的最小值为，
∴， .
法二：∵，
∴，
显然在上单调递减， 在上单调递增，
∴的最小值为，
∴， .
（Ⅱ）∵恒成立，
∴恒成立，
当时， 取得最小值，
∴，即实数的最大值为.
21．【2017届浙江省台州市高三4月调研】已知数列满足：.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
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试题解析：（1）由，
所以，因为，
所以.
（2）假设存在，
由（1）可得当时，，
根据，而，
所以.
于是，
……
.
累加可得（*）
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22．【2017届浙江省台州市高三4月调研】已知函数.
（1）若函数在上存在两个极值点，求的取值范围；
（2）当时，求证：对任意的实数，恒成立.
【答案】(1) 的取值范围;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）在上有两个实根，根据二次函数根的分布列不等式组， ，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当时，，利用导数分和两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为证明.
试题解析：（1）
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，由已知可得在上存在两个不同的零点，
故有，即，
令，由图可知，
故的取值范围.
则在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，
要证，只需证，即证，
因为，所以，
所以成立.
综上所述，对任意的实数恒成立.
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