临沂市郯城县2017年中考数学一模试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 山东省临沂市郯城县2017年中考数学一模试卷（解析版）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）‎ ‎1．实数﹣2015的绝对值是（　　）‎ A．2015 B．﹣2015 C．±2015 D．‎ ‎【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ ‎【解答】解：|﹣2015|=2015，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截至2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.62×104 B．1.62×106 C．1.62×108 D．0.162×109‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将1.62亿用科学记数法表示为1.62×108．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．下列式子中正确的是（　　）‎ A．（）﹣2=﹣9 B．（﹣2）3=﹣6 C． =﹣2 D．（﹣3）0=1‎ ‎【分析】根据二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂逐一运算，判断即可．‎ ‎【解答】解：A、=9，故本项错误；‎ B、（﹣2）3=﹣8，故本项错误；‎ C、，故本项错误；‎ D、（﹣3）0=1，故本项正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．30° B．45° C．60° D．65°‎ ‎【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵∠1+∠3=90°，∠1=30°，‎ ‎∴∠3=60°．‎ ‎∵直尺的两边互相平行，‎ ‎∴∠2=∠3=60°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎5．已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．7‎ ‎【分析】先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可．‎ ‎【解答】解：原式=（x+y）2﹣xy ‎=（+）2﹣×‎ ‎=（）2﹣‎ ‎=5﹣1‎ ‎=4．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．不等式组的整数解的个数是（　　）‎ A．3 B．5 C．7 D．无数个 ‎【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得：x＞﹣2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解②得：x≤3．‎ 则不等式组的解集是：﹣2＜x≤3．‎ 则整数解是：﹣1，0，1，2，3共5个．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎　‎ ‎7．化简的结果是（　　）‎ A．x+1 B． C．x﹣1 D．‎ ‎【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣===x+1．‎ 故选A ‎【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（　　）‎ A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm ‎【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．‎ ‎【解答】解：圆锥的弧长为： =24π，‎ ‎∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12，‎ 故选C．‎ ‎【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；‎ ‎　‎ ‎9．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．‎ ‎【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，‎ ‎∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，‎ ‎∴AF=EF=1，∠AFE=120°，‎ ‎∴∠FAE=30°，‎ ‎∴AN=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AE=，同理可得：AC=，‎ 故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，‎ 则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，‎ ‎∴BE：EC=1：3；‎ ‎∴BE：BC=1：4；‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴△DOE∽△AOC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴S△DOE：S△AOC==，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．‎ ‎　‎ ‎11．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　）‎ A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16‎ ‎【分析】根据题意求出点A的坐标，根据正方形的性质求出点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．‎ ‎【解答】解：∵点A在直线y=x上，横坐标为1，‎ ‎∴点A的坐标为（1，1），‎ ‎∵正方形ABCD的边长为3，‎ ‎∴点C的坐标为（4，4），‎ 当双曲线y=经过点A时，k=1×1=1，‎ 当双曲线y=经过点C时，k=4×4=16，‎ ‎∴双曲线y=与正方形ABCD公共点，则k的取值范围是1≤k≤16，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题以及正方形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、以及正方形的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（　　）‎ A．80° B．100° C．110° D．130°‎ ‎【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．‎ ‎【解答】解：连接OC，如图所示，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=40°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠BOC=100°，‎ ‎∵∠1+∠BOC=360°，‎ ‎∴∠1=260°，‎ ‎∵∠A=∠1，‎ ‎∴∠A=130°．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎　‎ ‎13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．‎ ‎【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，‎ ‎∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ECF=45°，‎ ‎∴△ECF是等腰直角三角形，‎ ‎∴EF=CE，∠EFC=45°，‎ ‎∴∠BFC=∠B′FC=135°，‎ ‎∴∠B′FD=90°，‎ ‎∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，‎ ‎∴AC•BC=AB•CE，‎ ‎∵根据勾股定理求得AB=5，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴EF=，ED=AE==，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DF=EF﹣ED=，‎ ‎∴B′F==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：‎ ‎①2a+b=0；‎ ‎②abc＞0；‎ ‎③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；‎ ‎④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；‎ ‎⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，‎ 其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤‎ ‎【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，‎ ‎∴2a+b=0，所以①正确；‎ ‎∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴b=﹣2a＞0，‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＜0，所以②错误；‎ ‎∵抛物线的顶点坐标A（1，3），‎ ‎∴x=1时，二次函数有最大值，‎ ‎∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）‎ 而抛物线的对称轴为直线x=1，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）‎ ‎∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）‎ ‎15．分解因式：5x3﹣10x2+5x=　5x（x﹣1）2　．‎ ‎【分析】先提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解．‎ ‎【解答】解：5x3﹣10x2+5x ‎=5x（x2﹣2x+1）‎ ‎=5x（x﹣1）2．‎ 故答案为：5x（x﹣1）2．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．‎ ‎　‎ ‎16．分式方程的解为　x=4　．‎ ‎【分析】原式变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：1﹣x=﹣1﹣2x+6，‎ 解得：x=4，‎ 经检验x=4是分式方程的解．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎17．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　①②　．（请写出正确结论的序号）．‎ ‎【分析】利用SAS得到△EBF与△DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由△ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，‎ ‎∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，‎ ‎∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，‎ 在△ABC和△EBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△EBF（SAS），‎ ‎∴EF=AC，‎ 又∵△ADC为等边三角形，‎ ‎∴CD=AD=AC，‎ ‎∴EF=AD=DC，‎ 同理可得△ABC≌△DFC，‎ ‎∴DF=AB=AE=DF，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；‎ ‎∴∠FEA=∠ADF，‎ ‎∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，‎ 在△FEB和△CDF中，‎ ‎．‎ ‎∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；‎ 若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，‎ 故答案为：①②．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为　　．‎ ‎【分析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．‎ ‎【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，‎ ‎∵△BCM∽△ACN，‎ ‎∴=，即==2，即MC=2NC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CN=MN=，‎ 在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算=　　．‎ ‎【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：由题意得， =+++…+‎ ‎=1﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=1﹣‎ ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共63分）‎ ‎20．（7分）计算：﹣32÷×+|﹣3|‎ ‎【分析】分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．‎ ‎【解答】解：﹣32÷×+|﹣3|‎ ‎=﹣9××+3﹣‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名涌中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表．‎ 类别 时间t（小时）‎ 人数 A t≤0.5‎ ‎5‎ B ‎0.5＜t≤1‎ ‎20‎ C ‎1＜t≤1.5‎ a D ‎1.5＜t≤2‎ ‎30‎ E t＞2‎ ‎10‎ 请根据图表信息解答下列问题：‎ ‎（1）a=　35　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数．‎ ‎【分析】（1）用样本总数100减去A、B、D、E类的人数即可求出a的值；‎ ‎（2）由（1）中所求a的值得到C类别的人数，即可补全条形统计图；‎ ‎（3）用30万乘以样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数所占的百分比即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=100﹣5﹣20﹣30﹣10=35；‎ ‎（2）补全条形统计图如图所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）30×=22.5（万人）．‎ 答：估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人．‎ 故答案为：（1）35．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和频数分布表的综合运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了中位数的定义以及利用样本估计总体．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF．‎ ‎（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．‎ ‎【分析】（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．‎ ‎（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF是矩形．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=CB，∠A=∠C，‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS）．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴四边形DEBF是平行四边形，‎ ‎∵∠DEB=90°，‎ ‎∴四边形DEBF是矩形．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．‎ ‎（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AC=3，∠B=30°．‎ ‎①求⊙O的半径；‎ ‎②设⊙‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）‎ ‎【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；‎ ‎（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．‎ ‎【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；‎ 连结OD，∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA，‎ ‎∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，‎ ‎∴∠CAD=∠OAD，‎ ‎∴∠CAD=∠ODA，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB=∠C=90°，‎ 即OD⊥BC．‎ 又∵直线BC过半径OD的外端，‎ ‎∴直线BC与⊙O相切．‎ ‎（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，‎ ‎∴OB=2r，‎ 在Rt△ACB中，∠B=30°，‎ ‎∴AB=2AC=6，‎ ‎∴3r=6，解得r=2．‎ ‎（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，‎ ‎∴∠BOD=60°．‎ ‎∴．‎ ‎∵∠B=30°，OD⊥BC，‎ ‎∴OB=2OD，‎ ‎∴AB=3OD，‎ ‎∵AB=2AC=6，‎ ‎∴OD=2，BD=2‎ S△BOD=×OD•BD=2，‎ ‎∴所求图形面积为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．‎ ‎（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；‎ ‎（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元，求a的值．‎ ‎【分析】（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，即可解答；‎ ‎（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=﹣10x+9600，根据70≤x≤100，利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元），即可解答；‎ ‎（3）根据每张门票降价a元，可得W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600，利用一次函数的性质，x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），而两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），所以﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400，即可解答．‎ ‎【解答】解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，‎ ‎∴120﹣x≤50，‎ ‎∴x≥70，‎ ‎①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，‎ ‎②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，‎ 综上所述，W=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）∵甲团队人数不超过100人，‎ ‎∴x≤100，‎ ‎∴W=﹣10x+9600，‎ ‎∵70≤x≤100，‎ ‎∴x=70时，W最大=8900（元），‎ 两团联合购票需120×60=7200（元），‎ ‎∴最多可节约8900﹣7200=1700（元）．‎ ‎（3）∵x≤100，‎ ‎∴W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600，‎ ‎∴x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），‎ 两团联合购票需120（60﹣2a）=7200﹣240a（元），‎ ‎∵﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400，‎ 解得：a=10．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一次函数的性质求得最大值．注意确定x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎25．（11分）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．‎ ‎（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；‎ ‎（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．‎ ‎【分析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；‎ ‎②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答；‎ ‎（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，‎ ‎∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，‎ ‎∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等），‎ ‎∴∠B1CA1=∠AB1C，‎ ‎∴BB1∥CA1；‎ ‎②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AB=AC，AF⊥BC，‎ ‎∴BF=CF，‎ ‎∵cos∠ABC=，AB=5，‎ ‎∴BF=3，‎ ‎∴BC=6，‎ ‎∴B1C=BC=6，‎ ‎∵CE⊥AB，‎ ‎∴BE=B1E=，‎ ‎∴BB1=，CE=，‎ ‎∴AB1=，‎ ‎∴△AB1C的面积为：；‎ ‎（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，‎ 此时在Rt△BFC中，CF=，‎ ‎∴CF1=，‎ ‎∴EF1的最小值为；‎ 如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；‎ 此时EF1=EC+CF1=3+6=9，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴线段EF1的最大值与最小值的差为．‎ ‎【点评】此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答．‎ ‎　‎ ‎26．（13分）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．‎ ‎（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．‎ ‎①求点D的坐标及该抛物线的解析式；‎ ‎②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；‎ ‎②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣ x2+x），分两种情况讨论即可求得；‎ ‎（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，‎ ‎∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，‎ ‎∴∠DBF=∠BAO，‎ 又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，‎ 在△AOB和△BFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△BFD（AAS）‎ ‎∴DF=BO=1，BF=AO=2，‎ ‎∴D的坐标是（3，1），‎ 根据题意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1，‎ ‎∴b=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x；‎ ‎②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，‎ ‎∴C（，1），‎ ‎∵C、D两点的纵坐标都为1，‎ ‎∴CD∥x轴，‎ ‎∴∠BCD=∠ABO，‎ ‎∴∠BAO与∠BCD互余，‎ 要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，‎ 设P的坐标为（x，﹣ x2+x），‎ ‎（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，‎ 则tan∠POB=tan∠BAO，即=，‎ ‎∴=，解得x1=0（舍去），x2=，‎ ‎∴﹣x2+x=，‎ ‎∴P点的坐标为（，）；‎ ‎（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3‎ 则tan∠POB=tan∠BAO，即=，‎ ‎∴=，解得x1=0（舍去），x2=，‎ ‎∴﹣x2+x=﹣，‎ ‎∴P点的坐标为（，﹣）；‎ 综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，﹣），使得∠POB与∠BCD互余．‎ ‎（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），‎ 抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．‎ 分两种情况：‎ ‎①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．‎ ‎（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；‎ ‎（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；‎ ‎②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，‎ ‎（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；‎ ‎（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．‎ 根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，‎ ‎∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去）‎ 综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费