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2018年1月期末模拟试卷B（数 北师版九年级）
考试时间：120分钟；总分：120分
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人
得分
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（ ）
A． 4 B． 5 C． 4或5 D． 3或5
【答案】C
【解析】当一个直角三角形的两直角边分别是6，8时，
由勾股定理得，斜边==10，则斜边上的中线=×10=5，
当8是斜边时，斜边上的中线是4，
故选C．
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A． 对角线相等 B． 对角线互相垂直 C． 对角线互相平分 D． 对角线平分对角
【答案】C
【解析】试题解析：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；
B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；
C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；
D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；
故选C．
3．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10
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%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天涨停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均降低率为x，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．关于的一元二次方程的常数项为，则的值为
A． 1 B． 2 C． 0，2 D． 0
【答案】D
【解析】∵关于的一元二次方程的常数项为，
∴ ，解得：m=0．
故选D．
5．设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（ ）
A． 5 B． ﹣5 C． 1 D． ﹣1
【答案】B
【解析】∵是关于的方程的两个根，
∴， ，
∴．
故选B．
6．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A． 10个 B． 20个 C． 30个 D． 无法确定
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【答案】B
【解析】摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，设口袋中大约有x个白球，则，解得x=20．故选B．
7．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（ ）
A． 6 B． 8 C． D．
【答案】C
【解析】试题解析：∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠EDB，
∴BE=DE，
∵BE=4，
∴DE=4，
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=，
故选C．
8．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（ ）
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A． ∠2=∠B B． ∠1=∠C C． D．
【答案】D
点睛：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
9．已知反比例函数（≠0）的图象，在每一象限内， 的值随值的增大而减少，则一次函数的图象不经过（ ）
A． 第四象限 B． 第三象限
C． 第二象限 D． 第一象限
【答案】B
【解析】试题解析：∵反比例函数y=（a≠0）的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴a＞0，
∴-a＜0，
∴一次函数y=-ax+a的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C．
点睛：一次函数图象与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
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④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
10．如图，过双曲线（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上两点A，B分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2的大小关系为（ ）
A． S1＞S2 B． S1=S2
C． S1＜S2 D． S1与S2无法确定
【答案】B
【解析】依题意可知，△AOC的面积S ₁和△BOD的面积S ₂有S ₁=S ₂=|k|．
故选B．
第II卷（非选择题）
评卷人
得分
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图，如果要使▱ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________．
【答案】AB＝BC(答案不唯一)
【解析】试题解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC或AC⊥BD．
12．如图，正方形ABCD的面积为25， 为等边三角形，点E在正方形ABCD内，若P是对角线AC上的一动点，则的最小值是__________．
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【答案】5
点睛：本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，根据轴对称的性质找到点P的位置是解题的关键．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-4）2-4×k×1＞0，
解得k＜4且k≠0．
∴k的取值范围为k＜2且k≠0．
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点处，若为CE的中点，则折痕DE的长为___________．
【答案】2
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【解析】试题解析：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
即
∴ED=2．
故答案为：2．
15．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△的面积是________
【答案】12
【解析】∵△ABC与△是位似图形，且△ABC与△的位似比是1：2，△ABC的面积是3，
∴△ABC与△的面积比为：1：4，
则△的面积是：12，
故答案为：12．
16．反比例函数y= 图象经过点A(，)和B(，)，且．则与的大小关系是____．
【答案】
【解析】解：∵反比例函数，∴该函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且x1＞x2＞0，∴y1＞y2，故答案为：y1＞y2．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，写出y1与y2的大小关系．
评卷人
得分
三、解答题（共8个小题，共62分）
17．（6分）如图，延长平行四边形的边到点，使，连接交于点．
（）求证： ≌．
（）连接、，若，求证四边形是矩形．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
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∴四边形ABEC是矩形．
点睛：本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
18．（8分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆．
（）当售价为万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（）若该店计划平均每周的销售利润是万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【答案】（）万元 （）售价万元/辆
【解析】试题分析：销售利润=一辆汽车的利润×销售数量，一辆汽车的利润=售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每辆的盈利×销售的辆数=90万元，即求出x的值即可求出汽车定价，进而求出每周进汽车数量．
试题解析：解：（）销售利润=一辆汽车的利润×销售数量，
（万元），
（）设每辆汽车售价为万元/辆．
，
，
，
， ，
当时， （辆），
当时， （辆），
，为减少库存，故取．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数=90万元是解决问题的关键．
19．（7分）已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0．
(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．
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【答案】(1) m>0(2)8
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20．（6分）如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）．
（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少?
（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法(例如：树状图，列表)说明其公平性．
【答案】(1) ；(2)
【解析】试题分析：（1）直接列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．（2）比较（1）中求出的双方获胜概率，若相等，说明游戏规则公平．若不相等，需另行设计．
试题解析：
（1）所有可能结果为：
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由表格可知，小夏获胜的可能为： ；小秋获胜的可能性为： ．
（2）同上表，易知，和的可能性中，有三个奇数、三个偶数；三个质数、三个合数．
因此，游戏规则可设计为：如果和为奇数，小夏胜；为偶数，小秋胜．（答案不唯一）
点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同去操场测量旗杆DE的高度，已知直立在地面上的竹竿AB的长为3 m．某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长为2 m．
(1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影，并写出画图步骤；
(2)在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为6 m，请你计算旗杆DE的高度．
【答案】（1）作图见解析；（2）9m．
【解析】试题分析：（1）利用平行投影的性质得出DE在阳光下的投影EF即可；
（2）利用同一时刻物体高度与影长比值相等进而得出答案．
试题解析：(1)如图，线段EF就是此时旗杆DE在阳光下的投影．
作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于点F，则线段EF即为所求．
(2)∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
又∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF
．∴．
∵AB＝3 m，BC＝2 m，EF＝6 m，
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∴．
∴DE＝9 m．
∴旗杆DE的高度为9 m．
22．（9分）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求△AOB的面积．
（3）比较y1和y2的大小．
【答案】（1），y=﹣x﹣1；（2）1.5；（3）当x＜﹣2或0＜x＜1时，y1＞y2；当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．
【解析】试题分析： （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数y1=kx+b即可求出函数的解析式；
（2）求出C的坐标，求出△AOC和△BOC的面积，即可求出答案；
（3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．
试题解析：
解：（1）∵把A（﹣2，1）代入y2=得：m=﹣2，
∴反比例函数的解析式是y=﹣，
∵B（1，n）代入反比例函数y=﹣得：n=﹣2，
∴B的坐标是（1，﹣2），
把A、B的坐标代入一次函数y1=kx+b得：
，
解得：k=﹣1，b=﹣1，
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∴一次函数的解析式是y=﹣x﹣1；
（2）∵把y=0代入一次函数的解析式是y=﹣x﹣1得：
0=﹣x﹣1，
解得x=﹣1，
∴C（﹣1，0），
∴S△AOB=SAOC+S△BOC=×|﹣1|×1+×|﹣1|×|﹣2|=1.5；
（3）从图象可知：
当x＜﹣2或0＜x＜1时，y1＞y2；
当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．
点睛： 本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
23．（8分）为了预防流感，某校在休息天用药薰消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，生才能进入教室？
【答案】（1）当0≤x≤12时， ；当x≥12时， ；（2）4小时．
【解析】试题分析：首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x
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成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．
试题解析：（1）当0≤x≤12时， ；当x≥12时， ．
（2）当y＝0.45时，代入中，得x＝240（分钟）＝4（小时），
则从药物释放开始，至少需要经过4小时后，生才能进入教室．
24．（12分）如图，四边形ABCD中AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90，E为AB的中点，AC与DE交于点F．
(1)求证： =AB·AD；
(2)求证：CE//AD；
(3)若AD=6， AB=8．求 的值．
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) ．
（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×8=4，∵AD=6，∴6：4=AF：CF，∴==．
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点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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