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安徽省十校联考2017年中考数学二模试卷(解析版)
一.选择题
1.一元二次方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 5，﹣1 B. 5，4 C. 5，﹣4 D. 5x2 ， ﹣4x
2.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.把抛物线y=﹣ 经（ ）平移得到y=﹣ ﹣1．
A. 向右平移2个单位，向上平移1个单位 B. 向右平移2个单位，向下平移1个单位
C. 向左平移2个单位，向上平移1个单位 D. 向左平移2个单位，向下平移1个单位
4.一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm，其中一直角边长为xcm，面积为ycm2 ， 则y与x的函数的关系式是（ ）
A. y=10x﹣ x2 B. y=10x C. y= ﹣x D. y=x（10﹣x）
5.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低，为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2012年月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 1500（1+x）2=2160 B. 1500（1+x）2=2060
C. 1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160 D. 1500（1+x）=2160
7.学校早上8时上第一节课，45分钟后下课，这节课中分针转动的角度为（ ）
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A.45°
B.90°
C.180°
D.270°
8.如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（ ）
A. 45° B. 60° C. 25° D. 30°
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于此二次函数有以下四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④ab＞0，其中正确的有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A. a B. a C. D.
二.填空题
11.在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是________．
12.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是________．
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13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=6cm，则⊙O的半径为________ cm．
14.如图，抛物线y1=（x﹣2）2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为________．
三.解答题
15.解方程：4x2﹣12x+5=0．
16.已知二次函数图象经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，﹣3），求此二次函数的解析式．
四.解答题
17.如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．
①作出△ABC关于原点O中心对称的图形；
②将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1 ， 画出△A1B1C1 ， 并写出点A1的坐标．
18.已知函数y=x2﹣mx+m﹣2．求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点．
五.解答题
19.已知抛物线y=﹣x2+2x+2
（1）求该抛物线的对称轴、顶点坐标以及y随x变化情况；
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（2）在如图的直角坐标系内画出该抛物线的图象．
20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
六.解答题
21.在如图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
黑色小正方形个数
________
________
________
________
________
正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
黑色小正方形个数
________
________
________
________
________
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．
七.解答题
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22.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
八.解答题
23.如图，已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，E，F分别位于DC边和BC边上．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求等边三角形AEF的面积；
（3）将△AEF绕着点E逆时针旋转m（0＜m＜180）度，使得点A落在正方形ABCD的边上，求m的值．
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答案解析部分
一.选择题
1.【答案】C
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】∵5x2﹣4x﹣1=0，
∴二次项系数为：5，一次项系数分别为：﹣4，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），由此即可得出答案.
2.【答案】D
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；A不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．D符合题意；
故答案为：D．
【分析】轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合；由此即可得出答案.
3.【答案】B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】∵抛物线y=﹣ 的顶点坐标是（0，0），抛物线y=﹣ ﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），
∴由点（0，0）向右平移2个单位，向下平移1个单位得到点（2，﹣1），
∴把抛物线y=﹣ 经向右平移2个单位，向下平移1个单位得到y=﹣ ﹣1．
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质：左+右-，上+下-，由此即可得出答案.
4.【答案】A
【考点】函数关系式，三角形的面积
【解析】【解答】∵一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm，其中一直角边长为xcm，
∴另一边长为：（20﹣x）cm，
则y= x（20﹣x）=10x﹣ x2 ．
故答案为：A．
【分析】由一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm，其中一直角边长为xcm，则另一边长为：（20﹣x）cm，由三角形面积公式即可得出答案.
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5.【答案】B
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】过O作OC⊥AB于C，
∴AC=BC= AB=12，
在Rt△AOC中，
∴OC= =5．
故答案为：B．
【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得出OC=5.
6.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，依题可得：
1500（1+x）2=2160．
故答案为：A．
【分析】设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，由企业退休职工李师傅2012年月退休金为1500元，2014年达到2160元列出一元二次方程即可得出答案.
7.【答案】D
【考点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】∵早上8时分针指向数字12，45分钟后分针指向数字9，
∴这节课中分针转动的角度为270°．
故答案为：D．
【分析】由早上8时分针指向数字12，45分钟后分针指向数字9，根据钟面角的问题即可得出答案.
8.【答案】D
【考点】含30度角的直角三角形，垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】连接OB，
∵OC⊥AB，P为OC的中点，
∴OP= OB，
∴∠OBP=30°，
∴∠BOP=90°﹣30°=60°，
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∴∠BAC= ∠BOP=30°．
故答案为：D．
【分析】连接OB， 由已知条件得出OP= OB，在直角三角形中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半得出∠OBP=30°，再由三角形内角和定理得∠BOP=90°﹣30°=60°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC= ∠BOP=30°．
9.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵图象开口向下，
∴a＜0，
故①正确；
∵图象与y轴的交点坐标在x轴的下方，
∴c＜0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
∵图象对称轴在y轴的右侧，
∴﹣ ＞0，
∴ab＜0，
故④不正确；
∴正确的有两个，
故答案为：B．
【分析】①由图象开口向下得a＜0，故①正确；
②由图象与y轴的交点坐标在x轴的下方得c＜0，故②不正确；
③由抛物线与x轴有两个交点得b2﹣4ac＞0，故③正确；
由图象对称轴在y轴的右侧，即﹣ ＞0得ab＜0，故④不正确；由此即可得出答案.
10.【答案】D
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
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∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB= AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH= ×60°=30°，CG= AB= ×2a=a，
∴MG= CG= ×a= ，
∴HN= ，
故答案为：D．
【分析】取BC的中点G，连接MG，依题可得∠MBH+∠HBN=60°，由等边三角形的性质得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，等量代换得∠HBN=∠GBM，
由等边三角形的性质和旋转的性质可知HB=BG，BM=BN，利用全等三角形的判定得△MBG≌△NBH（SAS），再由全等三角形的性质得MG=NH；
根据垂线段最短得当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短；在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可得HN的值.
二.填空题
11.【答案】（3，﹣2）
【考点】关于原点对称的点的坐标
【解析】【解答】∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
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故答案为：（3，﹣2）．
【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，由此即可得出答案.
12.【答案】﹣1
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴a2﹣1=0，且a﹣1≠0．
∴a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】将x=0代入一元二次方程，得a2﹣1=0，且a﹣1≠0，由此即可得出答案.
13.【答案】3
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形
【解析】【解答】连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE= CD=3cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC= CE=3 cm，
故答案为：3 ．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=DE=CD=3cm，由等腰三角形的性质得∠A=∠OCA=22.5°，根据三角形外角的性质得∠COE=45°，从而得
△COE为等腰直角三角形，根据勾股定理得OC= CE=3 cm.
14.【答案】1≤x≤4
【考点】二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】联立 ，
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解得 ， ，
∴A（1，0），B（4，3），
∴当y2≥y1时，x的取值范围为:1≤x≤4．
故答案为：1≤x≤4．
【分析】将抛物线和直线解析式联立求出A和B坐标，再结合图像得出答案.
三.解答题
15.【答案】解：（2x﹣5）（2x﹣1）=0，
∴2x﹣5=0或2x﹣1=0，
∴x1= ，x2= ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【分析】先将一元二次方程因式分解——十字相乘法，再解之即可得出答案.
16.【答案】解：依题可设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），
∵C（0，﹣3）在抛物线上，
∴a×3×（﹣1）=﹣3，
∴a=1，
∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1），
即y=x2+2x﹣3．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】依题可设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标代入抛物线解析式即可得出a的值，从而求出抛物线解析式.
四.解答题
17.【答案】解：如图所示：
A1（﹣1，1）．
【考点】中心对称及中心对称图形，坐标与图形变化-旋转
【解析】【分析】①根据中心对称的特点分别求出A，B，C点相对应的坐标，连线即可得出△ABC关于原点O中心对称的图形△A′B′C′.
②根据旋转的性质得△A1B1C1的图形，由图即可得出A1坐标.
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18.【答案】证明：y=x2﹣mx+m﹣2，
∴△=（﹣m）2﹣4（m﹣2）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点．
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】根据题意得出△=m2﹣4m+8==（m﹣2）2+4＞0，从而得出不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点．
五.解答题
19.【答案】（1）解：∵y=﹣x2+2x+2，
∴对称轴为：x=﹣，顶点坐标为：（﹣，），
∴对称轴为：x=1，顶点坐标为：（1，3）．
∵a=﹣1＜0，开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小.
（2）解：列表如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
2
3
2
﹣1
…
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式即可得出对称轴和顶点坐标，又因为抛物线开口向下，由二次函数的性质得出答案.
（2）先列表、描点、连线即可得出二次函数解析式.
20.【答案】（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
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∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°.
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
又∵∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠CBD=∠CDB=39°，再根据同弧所对的圆心角相等得∠BAC=∠CDB=∠CAD=∠CBD=39°，从而求出∠BAD值.
（2）由等腰三角形的性质得∠CEB=∠CBE，又由∠CEB=∠2+∠BAE=∠CBE=∠1+∠CBD，由等量代换及等式额性质得∠1=∠2.
六.解答题
21.【答案】（1）1；5；9；13；2n﹣1；4；8；12；16；2n
（2）解：由（1）可知n为偶数时P1=2n，白色与黑色的总数为n2，
∴P2=n2﹣2n，
根据题意假设存在，则n2﹣2n=5×2n，
n2﹣12n=0，
解得n=12，n=0（不合题意舍去）．
存在偶数n=12使得P2=5P1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法，探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
黑色小正方形个数
1
5
9
13
…
2n﹣1
正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
黑色小正方形个数
4
8
12
16
…
2n
【分析】（1）根据题中图形可以相应的完善表格，从而得出其规律.
（2）由（1）可知n为偶数时P1=2n，白色与黑色的总数为n2，从而得P2=n2﹣2n，根据题意假设存在，即n2﹣2n=5×2n，解之即可得出答案.
七.解答题
22.【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得：
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）解：W=（x﹣10）（﹣2x+60）
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=﹣2x2+80x﹣600
=﹣2（x﹣20）2+200，
对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x=18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
（3）解：由150=﹣2x2+80x﹣600，
解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得到一个二元一次方程组，解之即可得出一次函数解析式.
（2）根据题意得W=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600（10≤x≤18），再由二次函数的性质得当x=18时，Wmax=192．
（3）又（2）得到的﹣2x2+80x﹣600=150（10≤x≤18），解之即可得出销售价格.
八.解答题
23.【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABF与Rt△ADE， ，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴∠DAE=∠BAF
又∠DAE+∠BAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣60°=30°
∴∠DAE=15°；
（2）解：设BF=x，由（1）可知DE=BF=x，则CF=CE=1﹣x
∴AB2+BF2=AF2 ， CF2+CE2=EF2 ， AF=EF，
即：12+x2=2（1﹣x）2
∴x1=2+ ，x2=2 ，
∵0＜x＜1，
∴x1=2+ （舍去），x=2 ，
∴S△AEF=S四边形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC=12﹣2× 1×（2﹣ ）﹣ （ ﹣1）2=2 ﹣3；
（3）解：依题意，点A可落在AB边上或BC边上．
①当点A落在AB边上时，设此时点A的对应点为M，则EA=EM，
∵∠EAB=75°，
∴∠AME=75°，
∴m=∠AEM=180°﹣75°﹣75°=30°，
②当点A落在边BC上时，
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∵EA=EF，点A旋转后与点F重合，
∴m=∠AEF=60°，
综上，m=30°或m=60°．
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，再根据直角三角形的判定得Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），由全等三角形的性质得∠DAE=∠BAF，由等边三角形和正方形的性质得∠DAE的度数.
（2）设BF=x，由（1）知DE=BF=x，则CF=CE=1﹣x，由勾股定理得AB2+BF2=AF2 ， CF2+CE2=EF2 ， AF=EF，即12+x2=2（1﹣x）2（0＜x＜1），
求出x=2 ，再由S△AEF=S四边形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC求出即可.
（3）依题分两种情况来分析：①当点A落在AB边上时，设此时点A的对应点为M，则EA=EM；②当点A落在边BC上时；根据旋转的性质和三角形内角和定理即可求出答案.
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