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浙江省杭州市西湖区2017年中考数学一模试卷(解析版)
一.选择题
1.﹣0.25的相反数是（ ）
A. B. 4 C. ﹣4 D. ﹣5
2.据我市统计局在网上发布的数据，2016年我市生产总值（GDP）突破千亿元大关，达到了1050亿元，将1050亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 105×109 B. 10.5×1010 C. 1.05×1011 D. 1050×108
3.下列运算正确的是（ ）
A.a+a2=a3
B.（a2）3=a6
C.（x﹣y）2=x2﹣y2
D.a2a3=a6
4.使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（ ）
A. 3，4 B. 4，5 C. 3，4，5 D. 不存在
5.如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A. 360° B. 260° C. 180° D. 140°
6.有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在4×3长方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
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8.在乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A.众数是90
B.中位数是90
C.平均数是90
D.极差是15
9.已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（ ）
A. （4033， ） B. （4033，0） C. （4036， ） D. （4036，0）
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2．E，F分别是射线AC、CB上的动点，且AE=BF，EF与AB交于点G，EH⊥AB于点H，设AE=x，GH=y，下面能够反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二.填空题
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11.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
12.分解因式：x3y﹣2x2y2+xy3=________．
13.已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为________．
14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：
①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，
其中正确的序号是________．
三.综合题
15.计算：（π﹣ ）0+ ﹣（﹣1）2017﹣ tan60°．
16.已知反比例函数 的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．
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17.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
18.一种药品在进价上加价100%作为原价，后经两次降价后利润率为28%，求平均每次的降价率？
19.小高发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=12米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．（结果保留根号）
20.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；
（2）若AD=4，AB=6，求 的值．
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21.如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求BE、CF的长．
22.一服装批发店出售星星童装，每件进价120元，批发价200元，多买优惠；凡是一次买10件以上的，每多买一件，所买的全部服装每件就降低1元，但是最低价为为每件160元，
（1）求一次至少买多少件，才能以最低价购买？
（2）写出服装店一次销售x件时，能获利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，甲批发了46件，乙批发了50件，店主却发现卖46件赚的钱反而比卖50件赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每件160元至少提高到多少？
23.综合题
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
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答案解析部分
一.选择题
1.【答案】A
【考点】相反数
【解析】【解答】解：﹣0.25的相反数是0.25，
故答案为：A．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数。
2.【答案】C
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：将1050亿用科学记数法表示为1.05×1011 ，
故答案为：C．
【分析】科学记数法—表示绝对值较大的数，一般表示成a10n ， 其中1|a|10,n是原数的整数位数减一。
3.【答案】B
【考点】同类项、合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式
【解析】【解答】解：A、a+a2 ， 无法计算，故此选项错误；
B、（a2）3=a6 ， 正确；
C、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2 ， 故此选项错误；
D、a2a3=a5 ， 故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】利用整式加法其实质就是合并同类项，不是同类项的不能合并；幂的乘方底数不变指数相乘；完全平方公式的展开式是一个三项式；同底数的幂相乘，底数不变指数相加进行判断即可。
4.【答案】A
【考点】一元一次不等式组的整数解
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：3≤x＜5，
则x的整数值是3，4；
故答案为：A．
【分析】分别解出每一个不等式，然后根据大小小大中间找得出解集，再在解集中找到整数解。
5.【答案】B
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
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∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=80°+180°=260°．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的外角和定理得∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，再根据角的和差得出结论。
6.【答案】B
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故答案为：B．
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，利用定义求解即可。
7.【答案】D
【考点】利用轴对称设计图案，概率公式
【解析】【解答】解：∵在3×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有8种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，如图，
∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：2÷8= ．
故答案为：D．
【分析】在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有8种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，根据概率公式计算即可。
8.【答案】C
【考点】算术平均数，中位数、众数，极差
【解析】【解答】解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；
故A正确；
∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；
故B正确；
∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；
故C错误；
极差是：95﹣80=15；
故D正确．
综上所述，C选项符合题意；
故答案为：C．
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【分析】一组数据的总和除以这组数据的个数就得到这组数据的平均数，一组数据中出现次数最多的数据是众数，把一组数据按从小到大的顺序排列处于最中间位置的数就是中位数，这组数据的最大值与最小值的差就是极差，用它们的定义进行判断即可。
9.【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义，坐标与图形变化-旋转
【解析】【解答】解：顶点A的坐标分别为（4，0），（5， ），（8，0），（9， ），
…，
2017÷2=1008…1，
1008×4+4=4036，
故顶点A的坐标是（4036，0）．
故答案为：D．
【分析】利用已知点坐标得出等边△ABC边长为2，根据三角函数可得等边△ABC的高，顶点A的坐标分别为（4，0），（5， ），（8，0），（9， ）， …，进而找到点的变化规律，即可得出答案。
10.【答案】C
【考点】等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB= = =2 ，∠A=45°，
∵EH⊥AB于点H，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴AH= AE= x，
过点B作BD∥AC交EF于点D，
则 = ， = ，
∴BD= •AE= •x，BD= •EC= •（2﹣x），
∴ •x= •（2﹣x），
整理得，BG（x+2）=（2 ﹣BG）（2﹣x），
解得BG= ﹣ x，
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根据图形，GH=AB﹣AH﹣BG，
=2 ﹣ x﹣（ ﹣ x），
=2 ﹣ x﹣ + x，
= ，
即y= ，是一条平行于x轴的直线．
故答案为：C，
【分析】先判断出△ABC是等腰直角三角形，再判断出△AHE是等腰直角三角形，然后根据勾股定理计算出AB、AH的长度，过点B作BD∥AC交EF于点D，然后利用平行线分线段成比例得出B D： A E = B G ：A G ， B F： F C = B D： E C ，再表示出BD、然后求出BG的长度，最后根据，GH=AB﹣AH﹣BG，代入数据就可以得出y关于x的函数关系式，再根据函数相应的图像解答。
二.填空题
11.【答案】x≥0且x≠1
【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ xx−1 有意义，
∴x≥0，x﹣1≠0，
∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【分析】利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出即可．
12.【答案】xy（x﹣y）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：x3y﹣2x2y2+xy3 ， =xy（x2﹣2xy+y2），
=xy（x﹣y）2 ．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解因式．
13.【答案】3.75
【考点】正方形的性质，平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵BC∥MN
∴ = ，即 = ，解得：BC=1
∵OB=3
∴OC=3﹣1=2
∵BC∥EF
∴ = ，即 = ，解得：EF=
∵PE=3
∴PF=3﹣ =
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∴梯形OCFP的面积为：（2+ ）×3× =3.75
故图中阴影部分面积为3.75．
【分析】根据平行线分线段成比例得出=与=,从而求出BC,OC,PE,PF,最后根据梯形的面积公式计算即可。
14.【答案】①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
⑴结论①正确．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．
易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM与△ABF中，
，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；
⑵结论②正确．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，
∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
∴CE⊥AF；
⑶结论③正确．理由如下：
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证法一：∵CE⊥AF，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠7=∠2，
∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．
在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，
∴NG=AG，
∴∠MNG=∠3，
∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG与△NCG中，
，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，
又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，
又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
⑷结论④正确．理由如下：
证法一：∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，
∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°= ∠AGC，
∴GD平分∠AGC．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．
故答案为：①②③④
【分析】 结论①正确，证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确，由△ACM≌△ABF得出∠2=∠4，进而得∠
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4+∠6=90°，即CE⊥AF，结论③正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确，证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等。
三.综合题
15.【答案】解：（π﹣ ）0+ ﹣（﹣1）2017﹣ tan60°；
=1+2+1﹣ ×
=4﹣3
=1．
【考点】立方根，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用零指数的意义，立方根的意义，-1的奇次幂及特殊锐角的三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则进行运算即可。
16.【答案】（1）解：∵函数y1= 的图象过点A（1，4），即4= ，
∴k=4，
∴反比例函数的关系式为y1= ；
又∵点B（m，﹣2）在y1= 上，
∴m=﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，
∴依题意，得 ，
解得 ，
∴一次函数的关系式为y2=2x+2
（2）解：根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式中求出K,得出反比例函数的解析式，再把B点的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，即求出了点B的坐标，再把A,B两点的坐标分别代入直线的解析式，求出a,b的值，从而求出直线的解析式；
（2）根据图像的意义得出使y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
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17.【答案】（1）解：如图所示，图中点O为所求：
（2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1
（3）解：如图所示，△A″B″C″为所求：
A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）
【考点】作图-位似变换
【解析】【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O;
（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）连接B′O并延长，使OB″=OB′,连接A′O并延长，使OA″=OA′.连接 C″O并延长，使 OC″=OC′,连接A″B″； A″ C″；B″ C″，则△A″B″C″为所求：从网格中即可求出△A″B″C″各顶点的坐标。
18.【答案】解：设平均每次的降价率为x，药品进价为a元，则：（1+100%）a（1﹣x）2=（1+28%）a，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）．
答：平均每次的降价20%．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】这是一道平均增长率的题，设平均每次的降价率为x，药品进价为a元，利用公式a(1+x)n=P(a是平均增长前的量，n是增长次数，p是增长结束达到的量）列出方程，求解检验即可。
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19.【答案】解：延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．
DE=12sin30°=6；
CE=12cos30°=6 ；
∵测得1米杆的影长为2米．
∴EF=2DE=12（米），
∴BF=BC+CE+EF=20+6 +12=32+6 ，
∴电线杆AB的长度是 （32+6 ）=（16+3 ）（米）．
【考点】含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用
【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．由锐角三角函数的定义DE,CE的长度，然后根据含30角得直角三角形的边之间的关系得出EF的长，从而得出电线杆的高度。
20.【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，
∴CE= AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA；
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE= AB=3，AD=4，
∴ = = ，
∴ =
【考点】平行线的判定，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义证明∠DAC=∠CAB，从而得出△ADC∽△ACB；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等量代换证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；进而得到△AFD∽△CFE，，根据相似三角形的性质得出AD：CE=AF：CF；进而得出答案。
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21.【答案】（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴ = ，
∴∠BCP=∠BDC，
∵C是 的中点，
∴CD=CB，
∴∠BDC=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCP，
∴CF=BF；
（2）∵CD=6，AC=8，
∴AB=10，
∴BE= =3.6，
∴CE= =4.8，设CF=x，则FE=4.8﹣x，BF=x，
∴（4.8﹣x）2+3.62=x2 ，
∴x= ．
【考点】勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1） 延长CE交⊙O于点P，根据垂径定理得出及圆周角定理得出∠BCP=∠BDC，∠BDC=∠CBD，进而得出∠CBD=∠BCP，从而得出结论；
（2） 根据圆周角定理及勾股定理得出AB的长，再由射影定理得出BE及CE的长，设CF=x，则FE=4.8﹣x，BF=x，根据勾股定理得出方程求解即可。
22.【答案】（1）解：设一次至少买x件，才能以最低价购买，由题意，得
200﹣（x﹣10）=160，
解得：x=50．
答：一次至少买50件，才能以最低价购买；
（2）解：由题意，得
y=x[200﹣（x﹣10）﹣120]，
y=﹣x2+90x．
，
解得10＜x≤50
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（3）解：y=﹣x2+90x．
∴y=﹣（x﹣45）2+2025，
∵a=﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴x=45时，y有最大值，在对称轴x=45的右侧，y随x的增大而减小，
∴一天甲买了46支，乙买了50支，店主却发现卖46支的钱反而比卖50支赚的钱多的原因．
当x=45时，最低售价为200﹣（45﹣10）=165（元）．
∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只160元至少提高到165元
【考点】一元一次方程的应用，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）设一次至少买x件，才能以最低价购买，则每件的价格为[200﹣（x﹣10）]元，根据降价后的价格为160元建立方程求出其解即可；
（2）根据总利润=销售数量每件的利润建立解析式即可；
（3）将抛物线的解析式化为顶点式，根据顶点式的性质就可得出结论。
23.【答案】（1）2＜AD＜8
（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，
∴∠NBC=∠D，
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在△NBC和△FDC中， ，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中， ，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF．
【考点】三角形三边关系，全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中， ，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；，
【分析】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，由SAS证出△BDE≌△CDA，由全等三角形的性质得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即可求出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出 BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证出△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证出△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论。
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