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2017-2018学年四川省内江市资中县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）（﹣2018）0的结果是（ ）
A．﹣2018 B．﹣1 C．1 D．2018
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x＞3 D．x＜3
3．（4分）一次函数y=2x﹣6的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
4．（4分）若函数y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
5．（4分）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（1，2） B．y随x的增大而增大
C．图象在第一、三象限内 D．若x＞1，则0＜y＜2
6．（4分）2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm，nm是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm用科学记数法表示为（ ）
A．2×109米 B．20×10﹣8米 C．2×10﹣9米 D．2×10﹣8米
7．（4分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小2倍
8．（4分）把分式方程﹣1=化为整式方程，正确的是（ ）
A．2（x+1）﹣1=﹣x B．2（x+1）﹣x（x+1）=﹣x C．2（x+1）﹣x（x+1）=﹣1 D．2x﹣x（x+1）=﹣x
9．（4分）一次函数=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
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A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
10．（4分）若关于x的分式方程+1=有增根，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．3
11．（4分）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）如图，点A，B分别在一次函数y=x，y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b （a＞0，b＞0 ）．若直线AB为一次函数y=kx+m的图象，则当是整数时，满足条件的整数k的值共有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接写在相应题中的横线上．）
13．（4分）点P（1，﹣2）在第 象限．
14．（4分）当x= 时，分式的值为0．
15．（4分）点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
16．（4分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2018在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2018，纵坐标分别是1，3，5，…，共2018个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2018分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2018（x2018，y2018），则y2018= ．
三、解答题（本大题共6小题，共56分）
17．（9分）解答下列各题：
（1）计算：
（2）计算：
（3）解方程：
18．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=﹣2．
19．（12分）已知y+4与x成正比例，且x=6时，y=8．
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（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）在所给的直角坐标系（如图）中画出函数的图象．
（3）直接写出当﹣4≤y≤0时，自变量x的取值范围．
20．（8分）2017年12月29日，国家发改委批复了昌景黄铁路项目可行性研究报告．该项目位于赣皖两省，线路起自江西省南昌市南昌东站，经上饶市、景德镇市，安徽省黄山市，终至黄山北站．按照设计，行驶180千米，昌景黄高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少20分钟，求昌景黄高铁列车的平均行驶速度．
21．（10分）某批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．新年来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案：
方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；
方案二：按购买金额打八折付款．
某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x（x≥20）件．
（1）分别写出优惠方案一购买费用y1（元）、优惠方案二购买费用y2（元）与所买乙种商品x（件）之间的函数关系式；
（2）若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠．
22．（10分）如图1，直线y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线y=kx交于点C（2，
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）．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；直线l分别交线段BC、OC、x轴于点D、E、P，以DE为斜边向左侧作等腰直角△DEF，设直线l的运动时间为t（秒）．
（1）填空：k= ；b= ；
（2）当t为何值时，点F在y轴上（如图2所示）；
（3）设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式（不要求写解答过程），并写出t的取值范围．
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2017-2018学年四川省内江市资中县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）（﹣2018）0的结果是（ ）
A．﹣2018 B．﹣1 C．1 D．2018
【解答】解：（﹣2018）0=1．
故选：C．
2．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≥3 C．x＞3 D．x＜3
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故选：A．
3．（4分）一次函数y=2x﹣6的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【解答】解：∵一次函数y=2x﹣3中，k=2＞0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b=﹣3＜0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限．
故选：B．
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4．（4分）若函数y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
【解答】解：∵函数y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴，
解得k=1．
故选：B．
5．（4分）已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（1，2） B．y随x的增大而增大
C．图象在第一、三象限内 D．若x＞1，则0＜y＜2
【解答】解：A、把点（1，2）代入反比例函数y=，得2=2，正确．
B、∵k=2＞0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，不正确．
C、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内，正确．
D、若x＞1，则y＜2，正确．
故选：B．
6．（4分）2018年3月3日，新浪综合网报道： “中科院发明首个抗癌DNA纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm，nm是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm用科学记数法表示为（ ）
A．2×109米 B．20×10﹣8米 C．2×10﹣9米 D．2×10﹣8米
【解答】解：∵1nm=0.000000001m，
∴2nm=0.000000002m=2×10﹣9m，
故选：C．
7．（4分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小2倍
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【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：
==2•，
即分式的值扩大2倍．
故选：B．
8．（4分）把分式方程﹣1=化为整式方程，正确的是（ ）
A．2（x+1）﹣1=﹣x B．2（x+1）﹣x（x+1）=﹣x C．2（x+1）﹣x（x+1）=﹣1 D．2x﹣x（x+1）=﹣x
【解答】解：﹣1=，
两边乘x（x+1）得到，2（x+1）﹣x（x+1）=﹣x，
故选：B．
9．（4分）一次函数=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【解答】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：D．
10．（4分）若关于x的分式方程+1=有增根，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．3
【解答】解：去分母，得：3+x﹣2=k，
∵分式方程有增根，
∴增根为x=2，
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将x=2代入整式方程，得：k=3，
故选：D．
11．（4分）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵草坪面积为100m2，
∴x、y存在关系y=，
∵两边长均不小于5m，
∴x≥5、y≥5，则x≤20，
故选：C．
12．（4分）如图，点A，B分别在一次函数y=x，y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b （a＞0，b＞0 ）．若直线AB为一次函数y=kx+m的图象，则当是整数时，满足条件的整数k的值共有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据题意得A（a，a），B（b，8b），把A，B坐标代入函数y=kx+m，得
，
②﹣①得：k==8+，
∵a＞0，b＞0，是整数，
∴为整数时，k为整数；
则﹣1=1或7，
所以满足条件的整数k的值共有两个．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接写在相应题中的横线上．）
13．（4分）点P（1，﹣2）在第 四 象限．
【解答】解：由题意知点P（1，﹣2），
横坐标1＞0，纵坐标﹣2＜0，
结合坐标特点，第四象限横坐标为正，纵坐标为负，
得点P在第四象限．
故答案为：四．
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14．（4分）当x= 2 时，分式的值为0．
【解答】解：当x﹣2=0时，即x=2时，分式的值为0，
故答案为：2．
15．（4分）点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣4） ．
【解答】解：P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）．
16．（4分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2018在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2018，纵坐标分别是1，3，5，…，共2018个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2018分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2018（x2018，y2018），则y2018= ．
【解答】解：观察，发现规律：x1==6，x2==2，x3=，x4=，…，
∴xn=（n为正整数），
∵点Qn（xn，yn）在反比例函数y=的图象上，
∴yn===．
当n=2018时，y2018==，
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故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共56分）
17．（9分）解答下列各题：
（1）计算：
（2）计算：
（3）解方程：
【解答】解：（1）原式=
=
=2；
（2）原式==3；
（3）方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
∴原方程的解为x=3．
18．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=﹣2．
【解答】解：（﹣1）÷，
=
=
=，
当x=﹣2时，原式=．
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19．（12分）已知y+4与x成正比例，且x=6时，y=8．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）在所给的直角坐标系（如图）中画出函数的图象．
（3）直接写出当﹣4≤y≤0时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y+4与x成正比例，
∴设y+4=kx（k≠0），
∵当x=6时，y=8，
∴8+4=6k，
解得k=2，
∴y+4=2x，
函数关系式为：y=2x﹣4；
（2）当x=0时，y=﹣4，
当y=0时，2x﹣4=0，解得x=2，
所以，函数图象经过点（0，﹣4），（2，0），
函数图象如右图：
（3）由图象得：当﹣4≤y≤0时，自变量x的取值范围是：0≤x≤2．
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20．（8分）2017年12月29日，国家发改委批复了昌景黄铁路项目可行性研究报告．该项目位于赣皖两省，线路起自江西省南昌市南昌东站，经上饶市、景德镇市，安徽省黄山市，终至黄山北站．按照设计，行驶180千米，昌景黄高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少20分钟，求昌景黄高铁列车的平均行驶速度．
【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则昌景黄高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，
根据题意得：，
解得：x=180，
经检验，x=180是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×180=270．
答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．
21．（10分）某批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．新年来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案：
方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；
方案二：按购买金额打八折付款．
某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x（x≥20）件．
（1）分别写出优惠方案一购买费用y1（元）、优惠方案二购买费用y2（元）与所买乙种商品x（件）之间的函数关系式；
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（2）若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠．
【解答】解：（1）根据题意得：y1=20×300+80×（x﹣20）=80x+4400；
y2=（20×300+80x）×0.8=64x+4800．
（2）设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，则按照方案二的优惠办法购买了（20﹣m）件甲种商品，
根据题意得：w=300m+[300（20﹣m）+80（40﹣m）]×0.8=﹣4m+7360，
∵w是m的一次函数，且k=﹣4＜0，
∴w随m的增加而减小，
∴当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低．
22．（10分）如图1，直线y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线y=kx交于点C（2，）．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；直线l分别交线段BC、OC、x轴于点D、E、P，以DE为斜边向左侧作等腰直角△DEF，设直线l的运动时间为t（秒）．
（1）填空：k= ；b= 4 ；
（2）当t为何值时，点F在y轴上（如图2所示）；
（3）设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式（不要求写解答过程），并写出t的取值范围．
【解答】解：（1）把（2，）代入y=﹣x+b得：﹣+b=，解得：b=4；
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把（2，）代入y=kx中，2k=，解得：k=．
故答案是：，4；
（2）解：由（1）得两直线的解析式为：
y=﹣x+4和y=x，
依题意得OP=t，则
D（t，﹣t+4），E（t， t），
∴DE=﹣2t+4，
作FG⊥DE于G，则FG=OP=t
∵△DEF是等腰直角三角形，FG⊥DE，
∴FG=DE，
即t=（﹣2t+4），
解得t=1．
（3）当0＜t≤1时（如图1），S△DEF=（﹣t+4﹣t）•（﹣t+4﹣t）=（﹣2t+4）2=（t﹣2）2，
在y轴的左边部分是等腰直角三角形，底边上的高是：（﹣t+4﹣t）﹣t=（﹣2t+4）﹣t=2﹣2t，则面积是：（2﹣2t）2．
S=（t﹣2）2﹣（2﹣2t）2=﹣3t2+4t；
当1＜t＜2时（备用图），作FK⊥DE于点K．
S=（t﹣2）2．
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