2018年河南省开封市中考数学一模试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年河南省开封市中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）计算（﹣1）2018的结果是（　　）‎ A．2017 B．﹣2018 C．﹣1 D．1‎ ‎2．（3分）2018年春节期间共有7.68亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（　　）‎ A．7.68×109 B．7.68×108 C．0.768×109 D．0.768×1010‎ ‎3．（3分）如图是由7个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）分式方程=1的解为（　　）‎ A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2‎ ‎5．（3分）一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（　　）‎ A．3.6 B．3.8 C．3.6或3.8 D．4.2‎ ‎6．（3分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）‎ A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 ‎7．（3分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．5 B．4 C． D．‎ ‎8．（3分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（　　）‎ A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）‎ ‎10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（　　）‎ A．π B．π﹣1 C． +1 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）‎ ‎11．（3分）计算：|﹣7+3|=　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．（3分）不等式组的最小整数解是　 　．‎ ‎13．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1　 　y2（填“＞”或“=”或“＜”）‎ ‎14．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x的解析式是　 　．‎ ‎15．（3分）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共共8小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．‎ ‎17．（9分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）这次统计共抽查了　 　名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为　 　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．‎ ‎18．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．‎ ‎（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．‎ ‎（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．‎ ‎19．（9分）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）‎ ‎20．（9分）如图，函数y=的图象与双曲线y=（k≠0，x＞0）相交于点A（3，m）和点B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；‎ ‎（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．‎ ‎21．（10分）某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．‎ ‎（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；‎ ‎（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎22．（10分）【问题提出】‎ 如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明：AB=DB+AF ‎【类比探究】‎ ‎（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由 ‎（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．‎ ‎23．（11分）如图1，抛物线y=ax2+bx+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；‎ ‎（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年河南省开封市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）计算（﹣1）2018的结果是（　　）‎ A．2017 B．﹣2018 C．﹣1 D．1‎ ‎【解答】解：（﹣1）2018=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）2018年春节期间共有7.68亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（　　）‎ A．7.68×109 B．7.68×108 C．0.768×109 D．0.768×1010‎ ‎【解答】解：7.68亿用科学记数法可以表示为7.68×108．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图是由7个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从上边看，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．（3分）分式方程=1的解为（　　）‎ A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2‎ ‎【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，‎ 解得：x=﹣1，‎ 经检验x=﹣1是分式方程的解，‎ 则分式方程的解为x=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（　　）‎ A．3.6 B．3.8 C．3.6或3.8 D．4.2‎ ‎【解答】解：∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，‎ ‎∴a=1或2，‎ 当a=1时，平均数为=3.6；‎ 当a=2时，平均数为=3.8；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）‎ A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 ‎【解答】解：‎ ‎∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，‎ ‎∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴A、C正确，D不正确；‎ 令y=0可得（x﹣1）2=0，该方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴抛物线与x轴有一个交点，‎ ‎∴B正确；‎ 故选：D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎7．（3分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（　　）‎ A．5 B．4 C． D．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=90°，‎ ‎∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，‎ ‎∴OM是△ADC的中位线，‎ ‎∵OM=3，‎ ‎∴DC=6，‎ ‎∵AD=BC=10，‎ ‎∴AC==2，‎ ‎∴BO=AC=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（　　）‎ A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）‎ ‎【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴CD=AB，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，‎ ‎∴∠DCE=∠ADO，‎ ‎∴△CDE∽△ADO，‎ ‎∴，‎ ‎∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，‎ ‎∴OA=3，CD：AD=，‎ ‎∴CE=OD=2，DE=OA=1，‎ ‎∴OE=7，‎ ‎∴C（2，7），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（　　）‎ A．π B．π﹣1 C． +1 D．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB=90°，OA=OB=2，‎ ‎∴AC=BC=AB=2，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=2OA=4，‎ ‎∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，‎ ‎∴BA′=AB=4，‎ ‎∴BA′=2OB，‎ ‎∴∠OA′B=30°，‎ ‎∴∠A′BA=60°，‎ 即旋转角为60°，‎ S阴影=S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′‎ ‎=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′‎ ‎=﹣‎ ‎=π，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）‎ ‎11．（3分）计算：|﹣7+3|=　4　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：原式=|﹣4|=4．‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎12．（3分）不等式组的最小整数解是　x=﹣3　．‎ ‎【解答】解：由①得，x＞﹣，‎ 由②得，x＜，‎ 所以不等式的解集为﹣＜x＜，‎ 在数轴上表示为：‎ 由图可知，不等式组的最小整数解是x=﹣3．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1　＞　y2（填“＞”或“=”或“＜”）‎ ‎【解答】解：∵在反比例函数y=（m＜0）中，k=m＜0，‎ ‎∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，‎ ‎∵m﹣3＜m﹣1＜0，‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故答案为：＞．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x的解析式是　y=x+1　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如右图所示，‎ 由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，‎ ‎∵AD∥x轴，‎ ‎∴∠DAO+∠AOD=180°，‎ ‎∴∠DAO=90°，‎ ‎∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠DAC，‎ 在△OAB和△DAC中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAB≌△DAC（AAS），‎ ‎∴OB=CD，‎ ‎∴CD=x，‎ ‎∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，‎ ‎∴y=x+1，‎ 故答案为：y=x+1‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．（3分）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为　6或2　．‎ ‎【解答】解：如图1，当点P在CD上时，‎ ‎∵PD=3，CD=AB=9，‎ ‎∴CP=6，∵EF垂直平分PB，‎ ‎∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，‎ ‎∴EF=6，‎ 如图2，当点P在AD上时，‎ 过E作EQ⊥AB于Q，‎ ‎∵PD=3，AD=6，‎ ‎∴AP=3，‎ ‎∴PB===3，‎ ‎∵EF垂直平分PB，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵∠A=∠EQF，‎ ‎∴△ABP∽△EFQ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴EF=2，‎ 综上所述：EF长为6或2．‎ 故答案为：6或2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、解答题（本题共共8小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．‎ ‎【解答】解：÷（﹣x+1）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∵﹣＜x＜且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，‎ ‎∴x=﹣2时，原式=﹣．‎ ‎　‎ ‎17．（9分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）这次统计共抽查了　100　名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为　108°　；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．‎ ‎【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，‎ ‎∴此次共抽查了：20÷20%=100人，‎ 喜欢用QQ沟通所占比例为： =，‎ ‎∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×=108，‎ 故答案为：100、108°；‎ ‎（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人 喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40‎ 补充图形，如图所示：‎ ‎（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%‎ ‎∴该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：2500×40%=1000人；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（4）画出树状图，如图所示 所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，‎ 故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为=．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．‎ ‎（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．‎ ‎（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=，‎ ‎∴OA=AB=，‎ ‎∵OD⊥AB，‎ ‎∴∠AOE=∠ACB=90°，‎ 又∵∠A=∠A，‎ ‎∴△AOE∽△ACB，‎ ‎∴，即，‎ 解得：OE=；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）∠CDE=2∠A，理由如下：‎ 连接OC，如图所示：‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠A，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ ‎∴∠2+∠CDE=90°，‎ ‎∵OD⊥AB，‎ ‎∴∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠3=∠CDE，‎ ‎∵∠3=∠A+∠1=2∠A，‎ ‎∴∠CDE=2∠A．‎ ‎　‎ ‎19．（9分）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵BN∥ED，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠NBD=∠BDE=37°，‎ ‎∵AE⊥DE，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm），‎ 如图，过C作AE的垂线，垂足为F，‎ ‎∵∠FCA=∠CAM=45°，‎ ‎∴AF=FC=25cm，‎ ‎∵CD∥AE，‎ ‎∴四边形CDEF为矩形，‎ ‎∴CD=EF，‎ ‎∵AE=AB+EB=35.75（cm），‎ ‎∴CD=EF=AE﹣AF≈10.8（cm），‎ 答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）如图，函数y=的图象与双曲线y=（k≠0，x＞0）相交于点A（3，m）和点B．‎ ‎（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；‎ ‎（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）把A（3，m）代入y=2x，可得 m=2×3=6，‎ ‎∴A（3，6），‎ 把A（3，6）代入y=，可得k=3×6=18，‎ ‎∴双曲线的解析式为y=；‎ 当x＞3时，解方程组，可得 或（舍去），‎ ‎∴点B的坐标为（6，3）；‎ ‎（2）如图所示，作点A关于y轴的对称点A'（﹣3，6），连接A'P，则A'P=AP，‎ ‎∴PA+PB=A'P+BP≥A'B，‎ ‎∴当A'，P，B三点共线时，PA+PB的最小值等于A'B的长，‎ 设A'B的解析式为y=ax+b，‎ 把A'（﹣3，6），B（6，3）代入，可得 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴A'B的解析式为y=﹣x+5，‎ 令x=0，则y=5，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴点P的坐标为（0，5）．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．‎ ‎（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；‎ ‎（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）设一台A型换气扇x元，一台B型换气扇的售价为y元，根据题意得：‎ ‎，‎ 解得，‎ 答：一台A型换气扇50元，一台B型换气扇的售价为75元；‎ ‎（2）设购进A型换气扇z台，总费用为w元，则有z≤3（80﹣z），‎ 解得：z≤60，‎ ‎∵z为换气扇的台数，‎ ‎∴z≤60且z为正整数，‎ w=50z+75（80﹣z）=﹣25z+6000，‎ ‎∵﹣25＜0，‎ ‎∴w随着z的增大而减小，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴当z=60时，w最大=25×60+6000=4500，‎ 此时80﹣z=80﹣60=20，‎ 答：最省钱的方案是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）【问题提出】‎ 如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明：AB=DB+AF ‎【类比探究】‎ ‎（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由 ‎（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．‎ ‎【解答】证明：ED=EC=CF，‎ ‎∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，‎ ‎∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，‎ ‎∴△CEF是等边三角形，‎ ‎∴EF=EC，∠CEF=60°，‎ 又∵ED=EC，‎ ‎∴ED=EF，‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠CAF=∠CBA=60°，‎ ‎∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，‎ ‎∵∠CAF=∠CEF=60°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴A、E、C、F四点共圆，‎ ‎∴∠AEF=∠ACF，‎ 又∵ED=EC，‎ ‎∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，‎ ‎∴∠D=∠AEF，‎ 在△EDB和△FEA中，‎ ‎（AAS）‎ ‎∴△EDB≌△FEA，‎ ‎∴DB=AE，BE=AF，‎ ‎∵AB=AE+BE，‎ ‎∴AB=DB+AF．‎ ‎（1）AB=BD﹣AF；‎ 延长EF、CA交于点G，‎ ‎∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，‎ ‎∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，‎ ‎∴△CEF是等边三角形，‎ ‎∴EF=EC，‎ 又∵ED=EC，‎ ‎∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，‎ ‎∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，‎ ‎∴∠FCG=∠FEA，‎ 又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠D=∠FEA，‎ 由旋转的性质，可得 ‎∠CBE=∠CAF=120°，‎ ‎∴∠DBE=∠FAE=60°，‎ 在△EDB和△FEA中，‎ ‎（AAS）‎ ‎∴△EDB≌△FEA，‎ ‎∴BD=AE，EB=AF，‎ ‎∴BD=FA+AB，‎ 即AB=BD﹣AF．‎ ‎（2）如图③，，‎ ED=EC=CF，‎ ‎∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，‎ ‎∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，‎ ‎∴△CEF是等边三角形，‎ ‎∴EF=EC，‎ 又∵ED=EC，‎ ‎∴ED=EF，‎ ‎∵AB=AC，BC=AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵∠CBE=∠CAF，‎ ‎∴∠CAF=60°，‎ ‎∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC ‎=180°﹣60°﹣60°‎ ‎=60°‎ ‎∴∠DBE=∠EAF；‎ ‎∵ED=EC，‎ ‎∴∠ECD=∠EDC，‎ ‎∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，‎ 又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，‎ ‎∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，‎ ‎∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，‎ ‎∴∠BDE=∠AEF，‎ 在△EDB和△FEA中，‎ ‎（AAS）‎ ‎∴△EDB≌△FEA，‎ ‎∴BD=AE，EB=AF，‎ ‎∵BE=AB+AE，‎ ‎∴AF=AB+BD，‎ 即AB，DB，AF之间的数量关系是：‎ AF=AB+BD．‎ ‎　‎ ‎23．（11分）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵矩形OBDC的边CD=1，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴OA=3，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0），‎ 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，‎ ‎∴E（﹣2，2），‎ ‎∴直线OE解析式为y=﹣x，‎ 由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），‎ ‎∵PG∥y轴，‎ ‎∴G（m，﹣m），‎ ‎∵P在直线OE的上方，‎ ‎∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵直线OE解析式为y=﹣x，‎ ‎∴∠PGH=∠COE=45°，‎ ‎∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，‎ ‎∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；‎ ‎（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，‎ 则∠ALF=∠ACO=∠FNM，‎ 在△MFN和△AOC中 ‎∴△MFN≌△AOC（AAS），‎ ‎∴MF=AO=3，‎ ‎∴点M到对称轴的距离为3，‎ 又y=﹣x2﹣x+2，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=﹣1，‎ 设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，‎ 当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=﹣，‎ ‎∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；‎ ‎②当AC为对角线时，设AC的中点为K，‎ ‎∵A（﹣3，0），C（0，2），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴K（﹣，1），‎ ‎∵点N在对称轴上，‎ ‎∴点N的横坐标为﹣1，‎ 设M点横坐标为x，‎ ‎∴根据中点坐标公式：x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，‎ ‎∴M（﹣2，2）；‎ 综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费