2018年济南市长清区中考数学一模试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年山东省济南市长清区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）2018的相反数是（　　）‎ A．8102 B．﹣2018 C． D．2018‎ ‎2．（4分）如图，点O在直线AB上，若∠2=140°，则∠1的度数是（　　）‎ A．40° B．60° C．140° D．150°‎ ‎3．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a6 C．a6÷a2=a3 D．2﹣3=﹣6‎ ‎4．（4分）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104‎ ‎5．（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（4分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（4分）下列命题中，真命题是（　　）‎ A．两对角线相等的四边形是矩形 B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两对角线互相垂直的四边形是菱形 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 D．两对角线相等的矩形是正方形 ‎8．（4分）下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表：‎ 星期 一 二 三 四 五 跳绳个数 ‎160‎ ‎160‎ ‎180‎ ‎200‎ ‎170‎ 则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．180，160 B．170，160 C．170，180 D．160，200‎ ‎9．（4分）如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）‎ A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1‎ ‎10．（4分）抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（　　）‎ A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）‎ ‎11．（4分）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（　　）‎ A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4）‎ ‎12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论有（　　）个 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上）‎ ‎13．（4分）分解因式：x2+xy=　 　．‎ ‎14．（4分）比较大小：　 　（填“＞”“＜”“=”）．‎ ‎15．（4分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数　 　．‎ ‎16．（4分）若代数式和的值相等，则x=　 　．‎ ‎17．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为　 　．‎ ‎18．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于　 　．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题（本大题共9小题，共计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（6分）（1）计算：tan60°+（﹣1）0﹣；‎ ‎（2）化简：（a+3）（a﹣3）+a（2﹣a）‎ ‎20．（6分）（1）解不等式组：；‎ ‎（2）解方程：x2﹣4x+3=0‎ ‎21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3．‎ ‎（1）求证：△ACB∽△DAO；‎ ‎（2）求BC的长．‎ ‎22．（8分）为进一步推广“阳光体育”大课间活动，高新中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D排球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）随机抽取了3名喜欢“跑步”的学生，其中有2名男生，1名女生，现从这3名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一男生一女生的概率．‎ ‎23．（8分）春节期间，某超市出售的荔枝和芒果，单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元，请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？‎ ‎24．（10分）如图，在一次空中搜寻中，水平飞机的飞机观测到在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为60°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）‎ ‎25．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．‎ ‎（1）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；‎ ‎（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．‎ ‎26．（12分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．‎ ‎（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=，CE=3，求∠AED的度数；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．‎ ‎27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2018年山东省济南市长清区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）2018的相反数是（　　）‎ A．8102 B．﹣2018 C． D．2018‎ ‎【解答】解：2018的相反数﹣2018，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）如图，点O在直线AB上，若∠2=140°，则∠1的度数是（　　）‎ A．40° B．60° C．140° D．150°‎ ‎【解答】解：∵∠1+∠2=180°且∠2=140°，‎ ‎∴∠1=40°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a6 C．a6÷a2=a3 D．2﹣3=﹣6‎ ‎【解答】解：A、应为a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；‎ B、（a2）3=a2×3=a6，正确；‎ C、应为a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；‎ D、应为2﹣3==，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．（4分）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104‎ ‎【解答】解：100800=1.008×105．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；‎ C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）下列命题中，真命题是（　　）‎ A．两对角线相等的四边形是矩形 B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两对角线相等的矩形是正方形 ‎【解答】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，错误；‎ B、两对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C、两对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误；‎ D、两对角线垂直的矩形是正方形，错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表：‎ 星期 一 二 三 四 五 跳绳个数 ‎160‎ ‎160‎ ‎180‎ ‎200‎ ‎170‎ 则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．180，160 B．170，160 C．170，180 D．160，200‎ ‎【解答】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；‎ ‎160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）‎ A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1‎ ‎【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，‎ 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（　　）‎ A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）‎ ‎【解答】解：由y=3（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，1），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（　　）‎ A．（，3） B．（，） C．（2，2） D．（2，4）‎ ‎【解答】解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，‎ ‎∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，‎ ‎∴B（0，2），A（2，0），‎ ‎∴∠BAO=30°，‎ 由折叠的特性得，O′B=OB=2，∠ABO=∠ABO′=60°，‎ ‎∴MB=1，MO′=，‎ ‎∴OM=3，ON=O′M=，‎ ‎∴O′（，3），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论有（　　）个 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，‎ 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，‎ 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，‎ ‎∴abc＞0，故①正确；‎ 直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，‎ a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴﹣3a＞0，‎ ‎∴﹣3a+4c＞0，‎ 即a﹣2b+4c＞0，故②错误；‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），‎ 当x=﹣时，y=0，即a（﹣）2﹣b+c=0，‎ 整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；‎ ‎∵b=2a，a+b+c＜0，‎ ‎∴b+b+c=0，‎ 即3b+2c＜0，故④错误；‎ ‎∵x=﹣1时，函数值最大，‎ ‎∴a﹣b+c≥m2a﹣mb+c，‎ ‎∴a﹣b≥m（am﹣b），所以⑤正确；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上）‎ ‎13．（4分）分解因式：x2+xy=　x（x+y）　．‎ ‎【解答】解：x2+xy=x（x+y）．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）比较大小：　＞　（填“＞”“＜”“=”）．‎ ‎【解答】解：∵﹣1＞1，‎ ‎∴＞．‎ 故填空结果为：＞．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数　6　．‎ ‎【解答】解：设黄球的个数为x个，‎ 根据题意得=，解得x=6，‎ 所以黄球的个数为6个．‎ 故答案为6．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）若代数式和的值相等，则x=　7　．‎ ‎【解答】解：根据题意得： =，‎ 去分母得：2x+1=3x﹣6，‎ 解得：x=7，‎ 经检验x=7是分式方程的解．‎ 故答案为：x=7．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为　100°　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：∵∠BOD=160°，‎ ‎∴∠BAD=∠BOD=80°，‎ ‎∵A、B、C、D四点共圆，‎ ‎∴∠BCD+∠BAD=180°，‎ ‎∴∠BCD=100°，‎ 故答案为：100°．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于　﹣24　．‎ ‎【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，‎ ‎∵四边形OABC为菱形，‎ ‎∴AB∥CO，AO∥BC，‎ ‎∵DE∥AO，‎ ‎∴S△ADO=S△DEO，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 同理S△BCD=S△CDE，‎ ‎∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，‎ ‎∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO=40，‎ ‎∵tan∠AOC=，‎ ‎∴OF=3x，‎ ‎∴OC==5x，‎ ‎∴OA=OC=5x，‎ ‎∵S菱形ABCO=AO•CF=20x2，解得：x=，‎ ‎∴OF=，CF=，‎ ‎∴点C坐标为（﹣，），‎ ‎∵反比例函数y=的图象经过点C，‎ ‎∴代入点C得：k=﹣24，‎ 故答案为﹣24．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（6分）（1）计算：tan60°+（﹣1）0﹣；‎ ‎（2）化简：（a+3）（a﹣3）+a（2﹣a）‎ ‎【解答】解：（1）原式=；‎ ‎（2）原式=a2﹣6+2a﹣a2 ‎ ‎=2a﹣6．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（1）解不等式组：；‎ ‎（2）解方程：x2﹣4x+3=0‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）解①得：x＜4，‎ 解②得：x≥2，‎ ‎∴原不等式组的解集是2≤x＜4；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）由x2﹣4x+3=0得（x﹣1）（x﹣3）=0，‎ ‎∴x﹣1=0或x﹣3=0，‎ ‎∴x1=1，x2=3．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3．‎ ‎（1）求证：△ACB∽△DAO；‎ ‎（2）求BC的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵BC∥OD，‎ ‎∴∠B=∠AOD，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵AD是⊙O的切线，‎ ‎∴AD⊥AB，即∠BAD=90°，‎ ‎∴∠C=∠OAD，‎ ‎∴△ACB∽△DAO；‎ ‎（2）解：∵由（1）得△ABC∽△DAO，‎ ‎∴BC：OA=AB：OD，‎ ‎∵OA=1，AB=2，OD=3，‎ ‎∴BC=．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）为进一步推广“阳光体育”大 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 课间活动，高新中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D排球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；‎ ‎（2）随机抽取了3名喜欢“跑步”的学生，其中有2名男生，1名女生，现从这3名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一男生一女生的概率．‎ ‎【解答】解：（1）调查的纵人数=15÷10%=150，‎ 所以喜欢“跑步”的学生人数=150﹣15﹣45﹣30=60（人），它所占的百分比=×100%=40%；‎ 如图，‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有6种等可能的结果数，其中一男生一女生的结果数为4，‎ 所以刚好抽到一男生一女生的概率==．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．（8分）春节期间，某超市出售的荔枝和芒果，单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元，请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？‎ ‎【解答】解：设购买了荔枝x千克，则购买芒果（30﹣x）千克．‎ 根据题意列方程得：26x+22（30﹣x）=708，‎ 解得：x=12，30﹣x=18．‎ 答：购买了无核荔枝12千克，购买鸡蛋芒果18千克．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图，在一次空中搜寻中，水平飞机的飞机观测到在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为60°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）‎ ‎【解答】解：∵∠CBF=60°，∠CAF=30°，∠CBF=∠CAF+∠BFA，‎ ‎∴∠BFA=30°，‎ ‎∴AB=BF，‎ ‎∵AB=800米，‎ ‎∴AB=BF=800米，‎ ‎∵∠BCF=90°，∠CBF=60°，‎ ‎∴CF=BFsin60°=800×=400≈680（米），‎ 答：竖直高度CF约为680米．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．‎ ‎（1）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；‎ ‎（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，‎ ‎∴m=6，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=，‎ ‎∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，‎ ‎∴n==﹣2，‎ ‎∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴一次函数的解析式为：y=x+1；‎ ‎（2）﹣3＜x＜0或x＞2；‎ ‎（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5，‎ ‎∴S△ABC=×2×5=5．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎26．（12分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．‎ ‎（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=，CE=3，求∠AED的度数；‎ ‎（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．‎ ‎【解答】解：（1）CE=AF； ‎ 证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°‎ ‎∴∠ADF=∠CDE，‎ ‎∴△ADF≌△CDE，‎ ‎∴CE=AF，‎ ‎（2）∵DE=1，AE=，CE=3，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴AE2+EF2=AF2‎ ‎∴△AEF为直角三角形，‎ ‎∴∠BEF=90°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；‎ ‎（3）∵M是AB中点，‎ ‎∴MA=AB=AD，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴===，‎ 在Rt△DAM中，DM===2，‎ ‎∴DO=，‎ ‎∵OF=，‎ ‎∴DF=，‎ ‎∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，‎ ‎∴△DFN∽△DCO，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DN=，‎ ‎∴CN=CD﹣DN=4﹣=‎ ‎　‎ ‎27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）∵C（0，4），‎ ‎∴OC=4，‎ ‎∵OA=OC=4OB，‎ ‎∴OA=4，OB=2，‎ ‎∴A（4，0），B（﹣2，0），‎ 设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），‎ 把C（0，4）代入得a•2•（﹣4）=4，解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4），‎ 即y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）作PD∥y轴，如图，‎ 易得直线AC的解析式为y=﹣x+4，‎ 设P（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），‎ ‎∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，‎ ‎∴S△PAC=•PD•4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，‎ 当x=2时，S△PAC有最大值，最大值为4，此时P点坐标为（2，4）；‎ ‎（3）存在．‎ ‎∵OA=OC=4，‎ ‎∴AC=4，‎ ‎∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；‎ 当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）；‎ 当AQ=AC=4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4﹣4，0），‎ 综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 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