2.3 三角形的内切圆
一、选择题
1．如图K－50－1所示，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的( )
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
2．等边三角形内切圆与外接圆的半径之比为( )
A．1∶ B．3∶ C．1∶2 D．1∶3
3．2017·武汉已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( )
A. B. C. D．2
图K－50－1
4．如图K－50－2是输油管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两条直角边长分别为6 m和8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( )
图K－50－2
A．2 m B．3 m C．6 m D．9 m
二、填空题
5．如图K－50－3，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________度．
图K－50－3
.如图K－50－4所示，⊙O为△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，若∠DOB＝73°，∠DOE＝120°，则∠DOF的度数为______，∠C的度数为________，∠A的度数为________．
图K－50－4
7．如图K－50－5，点O在△ABC的内部，∠A＝40°，
图K－50－5
(1)若点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为________；
(2)若点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为________．
8．如图K－50－6，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D，E两点，经测量发现AD和BE的长恰是方程x2－25x＋150＝0的两根(单位：cm)，则该自来水管的半径为________ cm.
图K－50－6
9．如图K－50－7，在平面直角坐标系中有一个正方形AOBC，反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC两对角线的交点，半径为4－2 的圆内切于△ABC，则k的值为________．
图K－50－7
三、解答题
10．如图K－50－8所示，已知∠C＝90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，AB与⊙O相切于点D，AO的延长线交BC于点E.
求证：AD·AE＝AO·AC.
图K－50－8
11．如图K－50－9所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.
(1)求证：BF＝CE；
(2)若∠ACB＝30°，CE＝2 ，求AC的长．
图K－50－9
12．如图K－50－10，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AF⊥BC于点F，点O在AF上，⊙O经过点F，并分别与AB，AC边切于点D，E，连结OD，DE.
求：(1)△ADE的周长；
(2)内切圆⊙O的面积.
图K－50－10
13.2017·百色已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若＝，如图K－50－11①.
图K－50－11
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长.
14阅读学习定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内心．如图K－50－12①，PH＝PJ，PI＝PG，则点P就是四边形ABCD
的准内心．
图K－50－12
(1)如图②，∠AFD，∠DEC的平分线FP，EP相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内心；
(2)分别画出图③中平行四边形和图④中梯形的准内心；(作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明)
(3)同样，我们定义：到凸四边形一组对角顶点的距离相等，到另一组对角顶点的距离也相等的点叫凸四边形的准外心．若QA＝QC，QB＝QD，则点Q就是四边形ABCD的准外心．那么你认为Q是________和________的交点．
1．[解析] C 点O是△DEF的外接圆的圆心，即△DEF三边垂直平分线的交点．
2．[解析] C 如图，连结OB，OD，∵等边三角形的内心、外心重合，∴OD为内切圆的半径，OB为外接圆的半径．在Rt△BOD中，∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∴sin∠OBD＝＝sin30°＝，即OD∶OB＝1∶2.
3．[解析] C 如图，作三角形一边上的高，不妨作最长边BC上的高AD，设BD＝x，则CD＝8－x，则有h2＝52－x2＝72－(8－x)2，解得x＝，从而h＝，∴三角形的面积＝××8＝r×(5＋7＋8)，∴r＝. 故选C.
4．[答案] C
5．[答案] 90
6．[答案] 146° 60° 86°
[解析] 由题意知，Rt△OBD≌Rt△OBF，
∴∠BOD＝∠BOF＝73°，
∴∠DOF＝73°＋73°＝146°.
∵∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴∠C＝360°－90°×2－120°＝60°.
又∵∠ABC＝360°－∠BDO－∠BFO－∠DOF＝360°－90°－90°－146°＝34°.
∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－34°－60°＝86°.
7．[答案] 80° 110°
8．[答案] 5
[解析] 设圆心为O，如图，连结OD，OE.
解方程x2－25x＋150＝0，
得x1＝10，x2＝15.
∴设AD＝10，BE＝15，水管的半径为x，
∴AB＝AD＋BE＝25，
∴(AD＋x)2＋(BE＋x)2＝AB2，
∴(10＋x)2＋(15＋x)2＝252，解得x＝5.
9．[答案] 4
10．证明： 连结OD.∵AB与⊙O相切于点D，
∴∠ADO＝90°.
又∵∠C＝90°，∴∠ADO＝∠C.
又∵点O是Rt△ABC的内心，
∴∠DAO＝∠EAC，
∴△ADO∽△ACE，
∴＝，
即AD·AE＝AO·AC.
11．解：(1)证明：连结AO并延长，∵AB＝AC，
∴AO的延长线交BC于切点D，则BD＝CD.
又由切线长定理，得BF＝BD，CD＝CE，
∴BF＝CE.
(2)∵CE＝2 ，∴CD＝2 .
又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
又∵∠ACB＝30°，
∴AC＝＝＝＝4.
12．解：(1)∵AB＝AC，BC＝12，AF⊥BC于点F，∴BF＝FC＝6.
∵⊙O经过点F，并分别与AB，AC边切于点D，E，
∴BD＝BF＝6，CE＝CF＝6.
∵AB＝AC＝10，∴AD＝AE＝4，
∴AD∶AB＝AE∶AC.
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，
∴DE∶BC＝AD∶AB，即DE∶12＝4∶10，
∴DE＝4.8，
∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝4＋4.8＋4＝12.8.
(2)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°.
∵AB＝10，BF＝6，∴AF＝＝8.
∵⊙O与AB边切于点D，∴∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠AFB.
又∵∠OAD＝∠BAF，
∴△ADO∽△AFB，
∴AO∶AB＝OD∶BF，
即(8－OD)∶10＝OD∶6，∴OD＝3，
∴S⊙O＝π·OD2＝9π.
13．解：(1)△ABC是等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，∴AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，∠CFO＝∠CEO＝90°.
连结CO，BO，则△CFO≌△CEO，∴∠COF＝∠COE，同理∠BOE＝∠BOD.
∵＝，∴∠EOF＝∠EOD，
∴∠COE＝∠BOE.
又∠CEO＝∠BEO＝90°，OE＝OE，
∴△COE≌△BOE，∴CE＝BE.
∵CF＝CE，BE＝BD，∴CF＝BD.
∵AF＝AD，∴AC＝AB，
即△ABC是等腰三角形．
(2)∵AC＝AB，CE＝BE，
∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO.
∵AF＝AD，∴FM＝DM，FM⊥AM，
∴AE过圆心O，DF∥BC，
∴AF∶AC＝DF∶BC，
即4∶6＝DF∶4，
∴DF＝，∴FM＝，
∴AM＝＝.
14解：(1)证明：如图①，过点P作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，垂足分别是I，J，G，H.
∵EP平分∠DEC，∴∠PED＝∠PEC.
在△PEJ和△PEH中，
∴△PEJ≌△PEH，
∴PJ＝PH.
同理，可证△PGF≌△PIF，∴PG＝PI，
∴点P是四边形ABCD的准内心．
(2)平行四边形两条对角线的交点P1就是它的准内心，如图②；
或者平行四边形两对边中点连线的交点P1就是它的准内心，如图③；
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是它的准内心，如图④.
(3)根据凸四边形的准外心的定义即可得出四边形ABCD的准外心Q是AC的中垂线和BD的中垂线的交点．
故答案为：AC的中垂线，BD的中垂线．
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