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2017-2018学年下期期末考试
高二数学（理）试题卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.在某项测量中，测量结果，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
4.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5.已知具有线性相关关系的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程：，过点，的直线方程：，那么下列个命题中：
①，；②直线过点；③；④.
（参考公式，）
正确命题的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8.从，，，，中任取个不同的数，事件为“取到的个数之和为偶数”，事件为“取到的个数均为偶数”，则等于
A． B． C． D．
9.已知函数，为的导函数，则的图象是（ ）
A． B． C． D．
10.现有种不同品牌的小车各辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在个车库中（每个车库放辆），则恰有个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分）
13.若将函数表示为，其中为实数，则 ．
14.一次英语测验由道选择题构成，每道题有个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得分，选错或不选均不得分，满分.某学生选对每一道题的概率均为，则该生在这次测验中的成绩的期望是 ．
15.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ．
16.如图所示，由直线，，及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间，即，类比之，，恒成立，则实数 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.
（1）求复数；
（2）若复数为纯虚数，求实数的值.
18.已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为，展开式中含项的系数为.
（1）求，的值；
（2）求的展开式中有理项的系数和.
19.已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，设该公司年内共生产该特许商品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于该特许商品（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大？
20.为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀.
（1）完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；
甲班
乙班
合计
大于等于分的人
数
小于分的人数
合计
（2）从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.
21.已知数列的前项和满足，且，.
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
22.已知函数在点处的切线是.
（1）求函数的极值；
（2）当恒成立时，求实数的取值范围（为自然对数的底数）.
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