2018年南京市中考考前数学模拟试卷含答案（PDF版）.pdf

2018 年南京中考考前模拟 数学试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 1． 用式子表示“减去一个数等于加上这个数的相反数”，正确的是（ ） A． a b c a b c     B． a b c a b c     C．    a b c a b c       D．  a b c a b c      2． 计算 3 21 2 ab    的结果是（ ） A． 633 2 a b B． 531 2 a b C． 531 8 a b D． 631 8 a b 3． 如图，矩形 ABCD 的边 AD 长为 2，AB 长为 1，点 A 在数轴上对应的点是 1 ，以 A 点为 圆心，对角线 AC 长为半径画弧，交数轴于点 E，点 E 表示的实数是（ ） A． 5 1 B． 5 1 C． 5 D．1 5 （第 3 题） （第 4 题） 4． 如图，直线 2y x   与 y 轴交于点 A，与反比例函数 ky x （ 0k  ）的图像交于点 C， 点 C 作 CB⊥x 轴于点 B，AO=2BO，则反比例函数的解析式为（ ） A． 3y x B． 3y x  C． 3 2y x D． 3 2y x  5． 现在有 1080 本课外书，要用 A、B 两种不同的包装箱进行包装，如果单独使用 B 型包装 箱，则可比单独使用 A 型包装箱少用 6 个；已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱多装 15 本课外书．若设每个 A 型包装箱可以装书 x 本，则由题意可列得方程（ ） A．1080 1080 615x x  B．1080 1080 615x x  C． 1080 1080 615 xx  D． 1080 1080 615 xx  第 1 页，共 16 页 6． 如图．在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标 为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E．那 么点 D 的坐标是（ ） （第 6 题） A．（ 4 5 ，12 5 ） B．（ 4 5 ， 9 5 ） C．（ 3 5 ，9 5 ） D．（ 3 5 ，12 5 ） 二、填空题（本大题共 10 题，每小题 2 分，共 20 分） 7． 计算：  20173 27 1    ． 8． 如果代数式 3 1 x x   有意义，那么 x 的取值范围是 ． 9． 因式分解： 3 16y y  ． 10．我们的生活离不开氧气．已知氧原子的半径大约是 0.000000000074 米，0.000000000074 米用科学记数法表示为 米． 11．关于 x 的一元二次方程 2 4 0x x k   有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 是 ． 12． 若一组数据 2，3，4，5，x 的方差与另一组数据 5，6，7，8，9 的方差相等，则 x= ． 13．如图，扇形 AOB 中，OA=10，∠AOB=36°．若将此扇形绕点 B 顺时针旋转，得一新扇 形 A′O′B，其中 A 点在 O′B 上，则点 O 的运动路径长为 cm（结果保留 π）． （第 13 题） （第 14 题） 14． 如图，正五边形 ABCDE 内接于圆 O，F 是圆 O 上一点，则∠CFD= °． 第 2 页，共 16 页 15． 二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图像如图所示，对称轴是直线 1x  ，下列结论： ① 0ab  ；② 2 4b ac ；③ 2 0a b c   ；④3 0a c  ，其中正确的是 ． （第 15 题） （第 16 题） 16． 如图，以点 A（1， 3 ）为圆心的⊙A 交 y 轴正半轴于 B，C 两点，且 OC= 3 1 ，点 D 是⊙A 上第一象限内的一点，连接 OD、CD．若 OD 与⊙A 相切，则 CD 的长 为 ． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17．（6 分）解不等式组   2 9 5 1 3 1 x x x x       ① ② 请结合题意填空，完成本题的解答． ⑴解不等式①，得 ； ⑵解不等式②，得 ； ⑶把该不等组的解集在数轴上表示出来． 18．（6 分）先化简，再求值： 2 2 2 2 2 1 4 1 2 x x x x x x x x         ，其中 x 为满足 3 2x   的整数． 第 3 页，共 16 页 19．（8 分）如图，已知 BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为 E． ⑴求证：△DCA≌△EAC； ⑵只需添加一个条件，即 ，可使四边形 ABCD 为矩形，请加以证明． （第 19 题） 20．（8 分）为了解学生体育训练的情况，南京市从八年级学生中随机抽取部分学生进行了一 次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级、B 级、C 级、D 级），并按那个测试 结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： 体育测试各等级学生人数扇形图 体育测试各等级学生人数条形图 （第 20 题） ⑴本次抽样测试的学生人数是 ； ⑵扇形图中∠α 的度数是 ，并把条形统计图补充完整； ⑶南京市八年级共有 45000 名学生，如果全部参加这次体育测试，请估计南京市八年级 学生中体育测试成绩为 D 等级的人数． α D级 C级 A级 B级40% 第 4 页，共 16 页 21．（8 分）某天，铁凡、茂旭、牛逊三人一起乘坐公交车，他们上车时发现公交车上还有 A， B，W 三个空座位，且只有 A，B 两个座位相邻，若三人随机选择座位，试解决以下问题： ⑴铁凡选择座位 W 的概率是 ； ⑵茂旭与牛逊想坐在相邻位置“开黑”，但是他们三人位置只能随机选取，试用列表或画 树状图的方法求茂旭、牛逊选择相邻座位 A，B 的概率． 22．（8 分）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°． ⑴实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹， 不写作法）． ①作△ABC 的外接圆 O； ②在 AB 的延长线上作一点 D，使得 CD 与⊙O 相切； ⑵综合与运用：在你所作的图中，若 AC=6，则由线段 CD，BD 及 BC 所围成图形的面积 为 ． （第 22 题） 第 5 页，共 16 页 23．（8 分）文具店某种文具进价为每件 20 元．市场调查反映：当售价为每件 30 元 时，平均每星期可售出 140 件；而当每件的售价涨 1 元时，平均每星期少售出 10 件．设每件涨价 x 元，平均每星期的总利润为 y 元． ⑴文具涨价后，每件文具的销售利润为 元，该文具店平均每星期销售量 为 件；（用含 x 的代数式表示）． ⑵求 y 与 x 的函数关系式； ⑶如何定价才能使每星期的利润最大？且每星期的最大利润是多少？ 24．（8 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 42cm，灯罩 BC 长为 32cm，底座 厚度为 2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所 成的角为 30°，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？ （结果精确到 0.1cm，参考数据： 3 1.732 ） （第 24 题） 60° 30° E D C B A 第 6 页，共 16 页 25．（8 分）甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度 y（m）与登山时间 x（min）之间 的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： ⑴图中有一个未知数t ，则t  min． ⑵若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度 3 倍， ①则甲登山的上升速度是 m/min； ②请求出甲登山过程中，距地面的高度 y（m）与登山时间 x（min）之间的函数关系式． ③当甲、乙两人垂直高度差为 70m 时，求 x 的值（直接写出满足条件的 x 值）． （第 25 题） 26．（8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，BC 的延长线与过点 A 的直线 相交于点 E，且∠B=∠EAC． ⑴求证：AE 是⊙O 的切线； ⑵过点 C 作 CG⊥AD，垂足为 F，与 AB 交于点 G，若 AG•AB=36， 2tan 2B  ，求 DF 的值． （第 26 题） t y（米） x（分） 乙 甲 E D C B A O 1 11 300 100 30 15 O G F E D C B A 第 7 页，共 16 页 27．（12 分） 我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形． 定义理解： 根据奇异三角形的定义，请你解决下列问题： ⑴将线段 AB 绕点 A 旋转 60°得到线段 AB′，则△ABB′一定 奇异三角形（填“是”或“不是”）． ⑵①若 Rt△ABC 是奇异三角形，且其中两边长分别为 2、 2 2 ，则第三边的长为 ； ②在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b a ，若 Rt△ABC 是奇异三角形， 求 : :a b c 的值． 问题解决： ⑶如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点 A、B 重合），D 是 ADB 的中点， C、D 在直径 AB 的两侧，若在⊙O 内存在点 E，使 AE=AD，CB=CE． ①求证：△ACE 是奇异三角形； ②当△ACE 是直角三角形，且 3AC  时，请求出⊙O 的半径． 第 8 页，共 16 页 数学参考答案 一、选择题（共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B B C A 第 6 题解析 解：如图，过 D 作 DF⊥AO 于 F， ∵点 B 的坐标为（1，3）， ∴BC=AO=1，AB=OC=3， 根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3， 在△CDE 和△AOE 中， CDE AOE CEO AEO CD AO         ， ∴△CDE≌△AOE（AAS）， ∴OE=DE，AE=CE， 设 OE=x，那么 CE=3  x，DE=x， ∴在 Rt△DCE 中，CE2=DE2+CD2， ∴  2 2 23 1x x   ， ∴ 4 3x  ， ∴ 4 3OE  ， 5 3AE  ， 又∵DF⊥AF， ∴DF∥EO， ∴△AEO∽△ADF， ∴ AE EO AO AD DF AF  ∴ 12 5DF  ， 9 5AF  ， ∴ 4 5OF  ， ∴D 的坐标为：（ 4 5 ，12 5 ）． F O E D C B A 第 9 页，共 16 页 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 题号 7 8 9 10 11 答案 2 3x   且 1x    4 4y y y  117.4 10 4k  题号 12 13 14 15 16 答案 1 或 6 4 36 ①②③ 3 1 第 16 题解析 解：连接 OA，连接 AC，过点 A 作 AE⊥OC 于 E，过点 D 作 DF⊥CF 交 CA 的延长线于 F． ∵A（1， 3 ）， ∴  221 3 2OA    ， ∴CE=AE=1，AC=AD= 2 ， ∴OD= 2 ， ∴ 1sin 2 AEAOE AO   ， ∴∠AOE=30°， ∴∠EAO=60° ∵AD=OD，∠ADO=90°， ∴△AOD 为等腰直角三角形， ∴∠EAC=∠OAD=45°， ∴∠DAF=180°  45°  60°  45°=30°， ∴ 2 2DF  ， 6 2AF  ， 62 2CF   ， 在 Rt△CDF 中， 2 2 3 1CD CF FD    ． 三、解答题 17. （6 分） 解：⑴ 3x   ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵ 2x  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 ⑶ 该不等式组解集在数轴表示如下图所示， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 F E y x D O C B A 第 10 页，共 16 页 18. （6 分） 解：原式          21 2 2 1 1 2 x x x x x x x x           1 2x x xx x        2 3x  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 由于 0x  且 1x  且 2x   所以 1x   ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 原式 2 3 5     ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 19. （8 分） ⑴证明：在△DCA 和△EAC 中， DC EA AD CE AC CA      ， ∴△DCA≌△EAC（SSS）；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ⑵解：AD=BC，（答案不唯一） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 理由如下：∵AB=DC，AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵CE⊥AE， ∴∠E=90°， 由⑴得：△DCA≌△EAC， ∴∠D=∠E=90°， ∴四边形 ABCD 为矩形；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 20. （8 分） 解：⑴本次抽样测试的学生人数是：160÷40%=400（人）； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵A 级所对应扇形圆心角度数为：120 400 ×360°=108°；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 第 11 页，共 16 页 C 级人数为：400  120  160  40  80（人），补全条形图如下图： 体育测试各等级学生人数条形图 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ⑶ 40 45000 4500400   （人）， 答：如果全部参加这次体育测试，则 D 等级学生约有 4500 人． ┄┄┄┄┄┄┄8 分 21. （8 分） 解：⑴由于共有 A、B、W 三个座位， ∴铁凡选择座位 W 的概率为 1 3 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵画树状图如下： ┄┄┄┄┄┄┄4 分 由图可知，共有 6 种等可能结果，其中牛逊、茂旭选择相邻的座位有两种， 所以 P（牛逊、茂旭相邻） 2 1 6 3  ． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 40 80 160 120 D级C级B级A级 等级 人数 180 160 140 120 100 80 60 40 20 茂旭 牛逊 铁凡 开始 W W W W W B B BB B A A A A A 第 12 页，共 16 页 22. （8 分） 解：⑴如下图所示即为所求 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ⑵线段 CD，BD 及 BC 所围成图形的面积  2 60 2 31 2 3 6 6 3 22 360DOC OBCS S S            △ 扇形 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 23. （8 分） 解：⑴ 10x  、140 10x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵    210 140 10 10 40 1400y x x x x       ； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ⑶∵  2210 40 1400 10 2 1440y x x x        ， ∴当 2x  时，y 取得最大值，最大值为 1440， 答：每件文具定价为 32 元时，每星期的利润最大，最大利润为 1440 元．┄┄┄8 分 24.（8 分） 解：由题意得：CE⊥AD，过点 B 作 BM⊥CE，BF⊥DA． ∵灯罩 BC 长为 32cm，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°， ∵CM⊥MB， ∴ 1sin 30 32 2 CM CM BC    ， ∴CM=16cm， 在 Rt△ABF 中， 3sin 60 42 2 BF BF BA    ， 解得： 21 3BF  ， 又∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°， ∴四边形 BFDM 为矩形， F M 60° 30° E D C B A 第 13 页，共 16 页 ∴MD=BF， ∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+ 21 3 +2≈54.4cm． 答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 54.4cm． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 25.（8 分） 解：⑴在 OA 段，乙每分钟走的路程为 15÷1=15（米/分）， 则 t=30÷15=2， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ⑵①以提速后的速度为：   300 30 11 2 30    （米/分）， ∴甲的速度为：30÷3=10m/min， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ②甲登山用的时间为： 300 100 10 20   （分钟）， 设甲登山过程中，距地面的高度 y（m）与登山时间 x（min）之间的函数关系式 y kx b  ， 代入（0，100）、（20，300）得 100 20 300 b k b     ，解得 10 100 k b    即甲登山过程中，距地面的高度 y（m）与登山时间 x（min）之间的函数关系式是 10 100y x  ； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ③x 的值是 3，10，13． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 26.（8 分） ⑴证明：连接 CD． ∵∠B=∠D，AD 是直径， ∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°， ∵∠B=∠EAC， ∴∠EAC+∠1=90°， ∴OA⊥AE， ∵A 为半径 OA 外端， ∴AE 是⊙O 的切线．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ⑵ ∵CG⊥AD．OA⊥AE， ∴CG∥AE， ∴∠2=∠3， ∵∠2=∠B， 第 14 页，共 16 页 ∴∠3=∠B， ∵∠CAG=∠CAB， ∴△ABC∽△ACG， ∴ AC AB AG AC ， ∴AC2=AG•AB=36， ∴AC=6， ∵ 2tan tan 2D B  ， 在 Rt△ACD 中， 2tan 2 ACD CD  ， 2 6 6 2 2 CD   ，  226 6 2 6 3AD    ， ∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°， ∴△ACD∽△CFD， ∴ AD CD CD FD ， ∴ 4 3DF  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 27.（12 分） 解：定义理解： ⑴是； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 ⑵① 2 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ②∵∠C=90°， ∴ 2 2 2a b c  ， ∵Rt ABC△ 是奇异三角形，且b a ， ∴ 2 2 22a c b  ， 则 2 2 2 2 2 22 a b c a c b      解得 2 3 b a c a    ， ∴ : : 1: 2 : 3a b c  ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 问题解决 ⑶①证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 3 2 1O G F E D C B A 第 15 页，共 16 页 在 Rt ACB△ 中， 2 2 2AC BC AB  ， 在 Rt ADB△ 中， 2 2 2AD BD AB  ， ∵D 是 ADB 的中点， ∴  AD BD ， ∴ AD BD ， ∴ 2 2 2 22AB AD BD AD   ， ∵ 2 2 2 22BC AC AB AD   ， ∵ CB CE ， AE AD ， ∴ 2 2 22AC CE AE  ， ∴ ACE△ 是奇异三角形； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 ② 由①知： 2 2 22AC CE AE  ， ∵ ACE△ 是直角三角形， ∴∠ACE≠90°， 所以分两种情况： 当∠AEC=90°，即 AC 为斜边，由⑵得到结论可知： : : 3 : 2 :1AC AE CE  ， 即 : : 3 :1AC BC AC CE  ， ∴ 1BC  ， ∴ 2 2 2AB AC BC   ，即⊙O 的半径为 1； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 当∠CAE=90°时，即 CE 为斜边，由⑵得到结论可知： : : 1: 2 : 3AC AE CE  ， 即 : : 1: 3AC BC AC CE  ， ∵ 3AC  ， ∴ 3BC  ， ∴ 2 2 2 3AB AC BC   ，即⊙O 的半径为 3 ； 综上所述，⊙O 的半径为 1 或 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 第 16 页，共 16 页