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2017-2018学年度高二第二学期期末考试
数学试题（文科）
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.在△中，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ）
A． = |x| B．≥ C．> D．>
5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )
A．2 B． C. D．
6. 某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的的值为（ ）
A. 33 B．31 C．29 D．27
7．命题：若，，则 ，命题：若，，则．在
命题①且②或③非④非中，真命题是（ ）．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8.设函数，且，则（ ）
A． 0 B．-1 C．3 D．-6
9.若两个正实数满足，且不等式 有解，则实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． D．
10．已知函数,若,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，
，则函数的零点个数为( )
A．2 B．3 C.4 D．5
12．定义在R上的函数，满足，，若，
且，则有( )
A. B.
C. D.不确定
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数的定义域为，则函数的定义域是__
14.数列的前项和，若，则_________.
15.已知向量，.若，则 ．
16.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”.现有定义在上的如下函数：①
；②；③；④，则其中是 “等比函数”的的序号为
三、解答题 （共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）已知的内角所对的边分别为，若，且，
求的面积
18.（12分）如图，已知三棱锥中，，为中点，为中点，且为正三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19.(本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片
颜色不同且标号之和小于4的概率.
20.（12分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在异于
的定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21.（12分）已知，函数，
（1）求的最小值；
（2）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；
（3）证明：（）
选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线，（为参数，且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）求与交点的直角坐标；
（2）若与相交于点，与相交于点，求最大值.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)解不等式：；
(Ⅱ)若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
2017-2018学年度高二第二学期期末考试
数学试题（文科）答案
一、 选择题：
ADCDC,BCBCA,,BB
二、填空题
13. 14. 15. 2 16.（3）（4）
三．解答
17.（1）
所以函数的最小正周期，值域为
∵，由正弦定理得
∴，∴.
∵，∴
∴，∴
∴
18.证明：
（1）由已知得， 是的中位线，
∴，∵面，面
∴面；
（2）∵为正三角形，为的中点，
∴,∴，又∵，,
∴面，∵面，∴
又∵,，∴面，
∵面，∴平面平面，
（3）由题意可知，三棱锥中，，为中点，为中点，且为正三角形.
面，,,
∴是三棱锥的高，,
∴
19、（本小题满分12分）
解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2………………………..2分
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为………………..6分
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为
………………………………………….. 12分
20.解：
（1）由，得
又，知是等腰直角三角形，从而，
所以椭圆的方程是.
（2）设，，直线的方程为
由得,
所以 ①，②
若平分，则直线的倾斜角互补，
所以,
设，则有，
将，代入上式，整理得，
将①②代入得，由于上式对任意实数都成立，所以.
综上，存在定点，使平分平分.
21.（1）函数的定义域为，.
当，，当，，∴为极小值点，极小值.
（2）∵.
∴在上恒成立，即在上恒成立.
又，所以，所以，所求实数的取值范围为.
（3）由（2），取，设，
则，即，于是.
∴.
所以.
22. （1）曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程为，联立两方程解得，
或，所以与交点的直角坐标，.
（2）曲线极坐标方程为，其中，因此点的极坐标为，点的极坐标为，
所以，当时取得最大值，最大值为4.
23．（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)由得
得不等式的解为……………………5分
(Ⅱ)因为任意，都有，使得成立，
所以，
又，
，所以，解得或，
所以实数的取值范围为或.……………………10分
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