2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测
高二理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（ ）
A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对
4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．
5.如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：
广告费用（万元）
4
2
3
5
销售额（万元）
50
26
38
根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7.利用数学归纳法证明不等式的过程，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
8.如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知，，正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
9.设复数，若，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知等差数列的第8项是二项式展开式的常数项，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于 ．
14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
15.的展开式中的系数是 ．
16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.复数，，若是实数，求实数的值.
18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.
19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.
（1）求，，及，，；
（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.
20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：
对教师管理水平好评
对教师管理水平不满意
合计
对教师教学水平好评
对教师教学水平不满意
合计
请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？
（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求的数学期望和方差.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中）
21.已知函数，（为自然对数的底数，）.
（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；
（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.
请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若，求直线的直角坐标方程.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数的定义域为.
（1）若，解不等式；
（2）若，求证：.
2017-2018学年度期末试题高二数学
理科答案
一、选择题
1-5: CAACA 6-10: CDBDD 11、12：CB
二、填空题
13. 0.36 14. 660 15. 243 16. 1
三、解答题
17.解：
.
∵是实数，
∴，解得
或，
由于，
∴，故.
18.解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故.
（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故.
又，
故.
因此所求概率为.
19.解：（1）由已知条件得，，
由此算出，，，
，，.
（2）由（1）的计算可以猜想，，
下面用数学归纳法证明：
①当时，由已知，可得结论成立.
②假设当（且）时猜想成立，即，.
那么，当时，
，
，
因此当时，结论也成立.
由①和②和对一切，都有，成立.
20.解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：
对教师管理水平好评
对教师管理水平不满意
合计
对教师教学水平好评
120
60
180
对教师教学水平不满意
105
15
120
合计
225
75
300
的观测发传真，
所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.
（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，
其中；；
；；，
的分布列为：
0
1
2
3
4
②由于，
则，.
21.解：（1），所以切线斜率.
又，∴曲线在点处的切线方程为，
由得.
由，
可得
当时，即或时，有两个公共点；
当时，即或时，有一个公共点；
当时，即时，没有公共点.
（2），
由，得，
令，则.
当时，由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此.
由，，
比较可知，所以，结合函数图象可得，
当时，函数有两个零点.
22.解：（1）由，可得，得，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数），
将参数方程①代入圆的方程，
得，
∴，上述方程有两个相异的实数根，设为，，
∴，
化简有，
解得或，
从而可得直线的直角坐标方程为或.
23.解：（1），即，则，
∴，
∴不等式化为，
①当时，不等式化为，
∴；
②当时，不等式化为，
∴.
综上，原不等式的解集为.
（2）证明：由已知，∴.
又，则.
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