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眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
数学试题卷（理工类） 2018.07
数学试题卷（理科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位，实数满足，则
A．1 B． C． D．
2．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
A.15 B.16 C.17 D.18
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是
A．假设、、都是偶数 B．假设、、都不是偶数
C．假设、、至多有一个偶数 D．假设、、至多有两个偶数
4．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则
A． B． C． D．
二居室户
主150人
三居室户
主250人
四居室户
主100人
图1 图2
5．已知某居民小区户主人数和户主对所住户型结构的满意率分别如图1和图2所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A.100,8 B.80,20
C.100,20 D.80,8
6. 在4次独立重复试验中，事件A发生的概率
相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为
7. 已知函数，则函数的大致图象是
8. 在长为的线段上任取一点.现作一矩形,邻边长分别等于线段的长,则该矩形面积小于的概率为
9.已知展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是
10．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有
A．540种 B．240种 C．180种 D．150种
11．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是
A． B． C． D．
12.设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．为虚数单位，设复数满足，则的虚部是
14．已知cos,则二项式的展开式中的系数为__________．
15.三个元件正常工作的概率分别为 ，，，将两个元件并联后再和 串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为 ．
16．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的
成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
参考公式：
18．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；
（2）若函数有三个不同零点，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据: ）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
参考公式：，；相关系数；
20.（本小题满分12分）
世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别
[0,20）
[20,40）
[40,60）
[60,80）
[80,100）
频数
2
250
450
290
8
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；
（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.
附:若，则
，
21.（本小题满分12分）
已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数的值及函数的最大值；
（2）证明：对任意的.
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：．
眉山市高中2019届第四学期期末教学质量检测
数学（理科）参考答案
一、选择题：DCBBA AACCD CD
二、填空题：
13. 14. 15. 16. ②④
三、解答题：
17.[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,记该事件为A，
根据等可能事件的概率得到 -----------------4分
(2)由已知数据得
甲班
乙班
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
----------------------6分
根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值
k＝≈3.137， -----------------------9分
由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． -----------------------10分
18.解：(1)因为
所以函数的单调减区间为
----------------3分
又
由 ------------------------------6分
------------------------------10分
------------------------------12分
19.（1）6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， -------------------1分
＝＝9，＝＝4， ------------------2分
62＋82＋102＋122＝344． -----------------4分
，线性相关性非常强. ----------------6分
(2)158，=9，＝4，344．
＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3． -------------------------9分
(3) 由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4． -----------------------12分
20.解：（1）设样本的中位数为，
则，
解得，所得样本中位数为51（百元）. ------------------------3分
估计有805位同学旅游费用支出在8100元以上. -----------------------6分
（3）的可能取值为0，1，2，3，
，，
，
∴的分布列为
0
1
2
3
-------------------------10分
--------------------------12分
21解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，取得最大值． -----------------------6分
（Ⅱ）证明：原不等式可变为则
，可知函数单调递增，
而，
所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，使得．
当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以
.
即在（0，+∞）上恒成立，
所以对任意x＞0，成立． -------------------------12分
法二：证，亦可.
22.解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，
y′＝－＝， -----------------------------------------1分
当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；
当02，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；-----3分
(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．
所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，
即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，
当0
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