“程溪中学、龙海五中、漳州五中，芗城中学”四校联考2017-2018学年第二学期期末考试高二数学理科试卷（考试时间：120分钟总分： 150分）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 复数为虚数单位的共轭复数是
A. B. C. D.
2. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
A. B. C. D.
3. 已知某批零件的长度误差单位：毫米服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率为
附：若随机变量服从正态分布，则，
A. B. C. D.
4. 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则
A. 7 B. 35 C. 48 D. 63
5. 盒中装有形状，大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于
A. B. C. D.
1. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是
A. B.
C. D.
2. 的展开式的常数项是
A. 5 B. C. D.
3. 曲线在处的切线方程为
A. B.
C. D.
4. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率等于
A. B. C. D.
5. 若，则等于
A. 5 B. 25 C. D.
6. 下面使用类比推理正确的是
A. 直线a，b，c，若，，则，类推出：向量，，，若，，则
B. 同一平面内，直线a，b，c，若，，则，类推出：空间中，直线a，b，
c，若，，则
C. 实数a，b，若方程有实数根，则，类推出：复数a，b，若方程有实数根，则
D. 由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义
1. 设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 定积分
3. 若，则______．
4. 在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是______ ．
5. 在函数的图象上任取两个不同点，，总能使得，则实数a的取值范围为______ ．
三、解答题（共70分）
（一）必考题共60分
6. （12分）已知函数．
Ⅰ求函数的极值；
Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值
1. （12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温与该小卖部的这种饮料销量杯，得到如下数据：
日 期
1月11日
1月12日
1月13日
1月14日
1月15日
平均气温
9
10
12
11
8
销量杯
23
25
30
26
21
Ⅰ若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
Ⅱ请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程；
Ⅲ根据Ⅱ中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温，请预测该奶茶店这种饮料的销量．
附：线性回归方程中，，其中，为样本平均值．
2.
（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，．
Ⅰ求证：平面PAD；
Ⅱ求PD与平面PCE所成角的正弦值；
Ⅲ在棱AB上是否存在一点F，使得平面平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．
1. （12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
女
50
合计
Ⅰ求图中a的值；
Ⅱ根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？
Ⅲ将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中
1. （12分）已知函数．
若在处取到极值，求a的值；
若在上恒成立，求a的取值范围；
求证：当时，．
(二)选考题：共10分，从22,23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分
2. （10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；
设为椭圆C上任意一点，求的最大值．
（10分）函数．
当时，解不等式；
若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
【答案】
1. D 2. D 3. B 4. D 5. D 6. C 7. D
8. C 9. C 10. B 11. D 12. B
9. 解：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，
乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为，
所以甲独自去一个景点的可能性为，
因为三个人去的景点不同的可能性为，
所以．
故选C．
10. 解：对于，两边对x求导，
可得，
再令，可得，
故选：B．
11. 解：对于A，时，不正确；
对于B，空间中，直线a，b，c，若，，则或或相交，故不正确；
对于C，方程有实根，但不成立，故C不正确；
对于D，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，正确．
故选：D．
12. ．【解答】解：是函数定义在上的导函数，满足，
可得，
令，则，
函数在R上单调递增．
，
．故选B．
13 14. 15. 16.
17. 解：Ⅰ， -----------------------------------------------1分
令，得，，
当时，即或时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减，-----------------4分
当时，函数有极大值，且，
当时，函数有极小值，且．------------------------------------8分
Ⅱ，
，
与极值点的函数值比较，
得已知函数在区间上的最大值是，最小值是． ------------12分
18. 解：Ⅰ设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，
所有基本事件其中m，n为1月份的日期数有：，，，
，，，，，，，共有10种．
事件A包括的基本事件有，，，共4种．
所以为所求 ---------------------------------------------------------4分
Ⅱ由数据，求得，
求得， 所以y关于x的线性回归方程为 –-8分
Ⅲ当时，
所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯 ---------------------------------12分
19. 解：Ⅰ设PA中点为G，连结EG，DG．
因为，且，，
所以且，
所以四边形BEGA为平行四边形．
所以，且．
因为正方形ABCD，所以，，
所以，且．
所以四边形CDGE为平行四边形．所以．
因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．--------------------------------------4分
Ⅱ如图建立空间坐标系，则0，，4，，
0，，0，，4，，
所以4，，0，，4，．
设平面PCE的一个法向量为y，，
所以，可得．
令，则，所以1，．--------6分
设PD与平面PCE所成角为，
则，
所以PD与平面PCE所成角的正弦值是 ----------------8分
Ⅲ依题意，可设0，，则，．
设平面DEF的一个法向量为y，，
则．
令，则，
所以．
因为平面平面PCE，
所以，即，
所以，点．所以． ---------------12分
20. 解：Ⅰ由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，
解得；-----------------------------------------------------------------3分
Ⅱ由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为人，
填表如下：
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
34
50
女
9
41
50
合计
25
75
100
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；----------------------------7分
Ⅲ由频率分布直方图知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，
这人晋级失败的概率为，
所以X可视为服从二项分布，即，
，
故，，
，，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
数学期望为，
或 --------12分
21. 解：的定义域为，
，在处取得极小值，
，即，
此时，经验证是的极小值点，故，----------------------4分
，
当时，，
在上单调递减，
当时，矛盾．
当时，，
恒成立，
令，解得，舍去，，--------6分
当时，即时，在单调性递增
，满足题意，
当时，即时，
时，，即递减，，矛盾．
综上，在上恒成立，，-------------------------8分
证明：由知令时，，
当时，，即，令，
则，
． ---12分
22. 解：根据题意，椭圆C的方程为，
则其参数方程为，为参数；
直线l的极坐标方程为，变形可得，即
，
将，代入可得，
即直线l的普通方程为；------------------------------------------5分
根据题意，为椭圆一点，则设，
，分析可得，当时，取得最大值9． --------10分
23. 解：当时，原不等式等价于，利用数轴及绝对值的几何意义知，
即不等式的解集为；分 ---------------------5分
，，即或，解得，
所以a的取值范围是分
1.
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