遂宁市高中2019级第四学期期末教学水平监测
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知命题，则为
A． B．
C． D．
3．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
A． B． C． D．
4．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为
x
2
4
5
6
8
y
25
35
60
55
75
A．5 B．10 C．12 D．20
5．“”是“函数在内存在零点”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为
A．23 B．75 C．77 D．139
7．运行下列程序，若输入的的值分
别为，则输出的的值为
A． B．
C． D．
8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市
某农业经济部门决定派出五位相关专家对三
个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一
位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同
一地区，则不同的派遣方案种数为
A．18 B．24 C．28 D．36
9．已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为
A． B．
C． D．
10．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
11．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为
A． B． C． D．
12．已知函数在处取得极值，对任意恒成立，
则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知是虚数单位，若复数，则 ▲
14．二项式的展开式中含项的系数为 ▲
15．已知等比数列是函数的两
个极值点，则 ▲
16．已知椭圆与双曲线
具有相同的焦点，且在第一象限交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，若，则的最小值为 ▲
三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本大题10分）
设命题函数在单调递增；
命题方程表示焦点在轴上的椭圆.
命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.
▲
18．（本大题12分）
已知二项式，其展开式中各项系数和为.若抛物线方程为，过点且倾斜角为的
直线与抛物线交于两点.
（1）求展开式中最大的二项式系数（用数字作答）.
（2）求线段的长度.
▲
19．（本大题12分）
已知函数在处有极值.
（1）求的解析式.
（2）求函数在上的最值.
▲
20．（本小题满分12分）
大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
喜欢盲拧
不喜欢盲拧
总计
男
22
▲
30
女
▲
12
▲
总计
▲
▲
50
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：
成功完成时间（分钟）
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40]
人数
10
10
5
5
表2
（1
）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.
附参考公式及数据：，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
▲
21．（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；
▲
22．（本大题12分）
已知函数，.
（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；
（2）若，讨论的单调性；
（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且．
▲
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数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×12=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
B
A
B
B
D
A
C
D
C
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本大题10分）
解析：由于命题函数在单调递增
所以 ………………（2分）
命题方程表示焦点在轴上的椭圆.
所以 ………………（4分）
命题“”为真命题,“”为假命题，则命题一真一假
①真假时： ………………（6分）
②： ………………（8分）
综上所述：的取值范围为： ………………（10分）
18．（本大题12分）
解析：（1）二项式系数分别为其中最大.最大为35………（4分）
（2）令，有 ………………（6分）
抛物线方程为
过抛物线的焦点且倾斜角为，则直线方程为，
令
联立：，， ……（10分）
………………（12分）
19．（本大题12分）
（1）由题意：，又 ………………（2分）
由此得： ………………（4分）
经验证：
∴ ………………（6分）
（2）由（1）知
， ………………（8分）
又 ………………（10分）
所以最大值为为 ………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解析：（1）依题意，补充完整的表1如下：
喜欢盲拧
不喜欢盲拧
总计
男
22
8
30
女
8
12
20
总计
30
20
50
………………（2分）
由表中数据计算得的观测值为
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。…（4分）
（2）依题意，所求平均时间为（分钟）
…（6分）
（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，故
………………（10分）
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
故 ………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）设椭圆的方程为： ，
由已知： 得： ， ，
所以，椭圆的方程为： . ……………（4分）
（2）由题意，直线斜率存在，故设直线的方程为
由得 ……………（6分）
由即有 ……………（8分）
即
有
解得 ……………（10分）
综上：实数的取值范围为……………（12分）
22．（本大题12分）
解析：（1）因为，所以；又。
由题意得，解得 ………………（3分）
（2），其定义域为，
又，令或。
………………（4分）
①当即时，函数与随的变化情况如下：
当时，，当时，。
所以函数在单调递增，在和单调递减 …（5分）
②当即时，，
所以，函数在上单调递减 ………………（6分）
③当即时，函数与随的变化情况如下：
当时，，当时，。
所以函数在单调递增在和 上单调递减
………………（7分）
（3）证明：当时，
由①知，的极小值为，极大值为. ………………（8分）
因为
且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点. …（10分）
又因为，
所以 函数只有一个零点，
且. ………………（12分）
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