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2017-2018第二学期期中阶段测试
初二数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）第Ⅲ卷附加题三部分，其中第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷共100分，第Ⅲ卷20分，考试时间100分钟。
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的).
1．下列各式中，运算正确的是（ ）．
A． B． C．D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）．
A． B． C． D．
3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）．
A．1，，B．3，4，5C．5，12，13D．2，2，31．
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．
若∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长为（ ）.
A．4B．C．3D．5
5．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）．
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
6．用配方法解方程，原方程应变形为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，
则AE的长为（ ）．
A．13B．14 C．15 D．16
8．下列命题中，正确的是（）．
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A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
9．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行. 在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）．
A．不变B．变小 C．变大 D．无法判断
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF＝30°．设DE＝x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的（ ）．
A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF
第9题图 第10题图
第Ⅱ卷(共70分)
二、填空：（每小题2分，共10个小题，共20分）
11．写出一个以0，1为根的一元二次方程．
12．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是________．
13．一元二次方程＋kx－3=0的一个根是x=1，则k的值是．
14．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，
请你说出其中的数学原理．
15．某城2016年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，预计到2018年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程是 ．
16．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且
∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．
17．如果关于x的一元二次方程有实数根，则ａ的取值范围
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是________．
18．如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5.过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E,
则AE的长是．
19．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C’，BC’与AD交于点E，若 AB=3，BC＝4，则DE的长为．
20．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，
PE＋PF的最小值等于．
第18题图 第19题图 第20题图
三、解答题：（21，22题每小题4分，23，24，25每题5分， 26，27每题6分，
28题7分；共计50分）
21．计算（1）； （2）
22．解方程： （1）；（2） ．
23．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90º，AB=BC=2，
AD＝1，CD＝3．
求∠DAB的度数．
24．列方程或方程组解应用题
如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园
ABCD，为了节约材料，花园的一边AD靠着
原有的一面墙，墙长为8米（AD＜8），另三
边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，
求花园一边AB的长．
D
A
C
B
E
25．如图，四边形ABCD中，AB//CD，AC平分∠BAD，CE//AD交AB于E.
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求证：四边形AECD是菱形.
26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为负整数，且该方程的两个根都是整数，求的值．
27．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
28．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1） ①依题意补全图形；
②求证：BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为______________（直接写出答案）．
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第Ⅲ卷附加题（共20分）
附加题（1题6分，2题7分，3题7分，共20分）
1. 如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全下表：
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
S
1
（2）填空：
由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S记为S(α)．例如：当α＝30°时，；当α＝135°时，．由上表可以得到
( ______°)；( ______°)，…，由此可以归纳出．
（3） 两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．
图2
图2
2．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，，且．
①求方程的两个实数根，（用含m的代数式表示）；
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②若，直接写出m的取值范围．
3. 阅读下列材料：
问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
求证：EG =AG+BG.
小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题.
参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）完成上面问题中的证明；
（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
（1）证明：
（2）解：线段EG、AG、BG之间的数量关系为____________________________.
证明：
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2017-2018第二学期期中阶段测试
初二数学答案及评分标准
一、选择题（本题共30分每小题3分，）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
A
A
C
D
D
A
B
二、填空题（每小题2分，共20分请将答案写在横线上）
二、填空题：（共20分．．）
11. 或 12.≥3
13. 2 14. 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；
15. 300(1+ )2 =363 16. 1.5
17. a≥- 且a≠0 18. 3.4
19. 20.
21．（1）解：解：；
＝…………………………………………………3分
＝……………………………………………………………4分
（2）原式＝, ----2分
＝
＝……………………………………………………………3分
＝
＝. …………………………………………………………………4分
22．（1）解：
移项，得．
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配方，得，…………………………………………………1分
所以，．………………………………………………………………2分
由此可得，
所以，，．…………………………………………………………4分
（2）解：，，．………………………………… 1分
．………………………2分
方程有两个不相等的实数根
，
，．……………………………………4分
23．解：连接AC
在Rt△ABC中，∠B＝90º，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，………………………………………………1分
∴．
∴．………………………………2分
∵AD＝1，CD＝3，
∴．…………………………3分
在△ACD中，，
∴△ACD是直角三角形，即∠DAC＝90º．……………………………………4分
∵∠BAD＝∠BAC +∠DAC，
∴∠BAD＝135º．………………………………………………………………5分
24．解：设AB的长为x米，则AD=BC=()米.
………………………………2分
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………………………………4分
当
当
………………………………5分
答：AB的长为10米．
25．证明：∵AB∥CD，CE∥AD
∴四边形ADCE是平行四边形…………………1分
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠EAC………………2分
∵AB∥CD
∴∠DCA=∠EAC………………3分
∴∠DAC=∠DCA
∴AD=DC…………………………4分
∴四边形ADCE是菱形…………5分
26. 解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴………………………………1分
……………………………………………………………2分
∴．……………………………………………………………………3分
（2）∵为负整数，
∴或．……………………………………………………………4分
当时，方程的根为，不是整数，不符合题意，
舍去．…………………………………………………………………………5分
当时，方程的根为，都是整数，符合题意．
综上所述．…………………………………………………………6分
27.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AD＝BC, ∠D＝∠BCD＝90°.
∴∠BCF＝180°－∠BCD＝180°－90°＝90°.
∴∠D＝∠BCF.------------------------------------------------------------------1分
在Rt△ADE和Rt△BCF中,
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∴Rt△ADE≌Rt△BCF. ---------------------------------------------------------2分
∴∠1＝∠F.
∴AE∥BF.
∵AE＝BF,
∴四边形ABFE是平行四边形. ---------------------------------------------------3分
（2）解：∵∠D＝90°,
∴∠DAE＋∠1＝90°.
∵∠BEF＝∠DAE,
∴∠BEF＋∠1＝90°.
∵∠BEF＋∠1＋∠AEB＝180°,
∴∠AEB＝90°. --------------------------------------------------------------------------4分
在Rt△ABE中, AE=3，BE=4，
AB＝.
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴EF＝AB＝5. --------------------------------------------------------------------------6分
28.（1）①依题意补全图形.
---------------------------------------------------------1分
②解法1：
证明：连接CE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD＝90°, AB＝BC.
∴∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝45°.
∵∠CMN＝90°, CM＝MN,
∴∠MCN＝45°.
∴∠ACN＝∠ACD＋∠MCN＝90°.
∵在Rt△ACN中,点E是AN中点,
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∴AE＝CE＝AN. ----------------------------------------------------------------------------2分
∵AE＝CE,AB＝CB,
∴点B，E在AC的垂直平分线上.
∴BE垂直平分AC.
∴BE⊥AC. --------------------------------------------------------------------------------------3分
解法2：
证明：连接CE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD＝90°, AB＝BC.
∴∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝45°.
∵∠CMN＝90°，CM＝MN,
∴△CMN是等腰直角三角形.
∴∠MCN＝45°.
∴∠ACN＝∠ACD＋∠MCN＝90°.
∵在Rt△ACN中,点E是AN中点,
∴AE＝CE＝AN.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE（SSS）. -----------------------------------------------------------------2分
∴∠ABE＝∠CBE.
∵AB＝BC,
∴BE⊥AC. --------------------------------------------------------------------------------------3分
（2）BE＝AD＋CN（或2BE＝AD＋CN）. -------------------------------------4分
证明：∵AB＝BC, ∠ABE＝∠CBE,
∴AF＝FC.
∵点E是AN中点,
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∴AE＝EN.
∴FE是△ACN的中位线.
∴FE＝CN.
∵BE⊥AC,
∴∠BFC＝90°.
∴∠FBC＋∠FCB＝90°.
∵∠FCB＝45°,
∴∠FBC＝45°.
∴∠FCB＝∠FBC.
∴BF＝CF.
在Rt△BCF中,,
∴BF＝BC. -----------------------------------------------------------------------------5分
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC＝AD.
∴BF＝AD.
∵BE＝BF＋FE,
∴BE＝AD＋CN. -------------------------------------------------------------------6分
（3）.---------------------------------------------------------------------------------------7分
附加题：
1.（1）；；；.（说明：每对两个给1分）----------------------------------2分
（2）120；30；α. -----------------------------------------------------------------------------------4分
（说明：前两个都答对给1分，最后一个α答对给1分）
（3）答：两个带阴影的三角形面积相等.
证明：将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO, 将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD.
∴S△AOB＝S菱形AEBO＝S(α)---------------------------------------------------5分
S△CDO＝S菱形OCFD＝S()-----------------------------------------6分
由（2）中结论S(α)＝S()
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∴S△AOB＝S△CDO.
2.（1）证明：∵是关于的一元二次方程，
∴ 1分
． 2分
∵，
∴，即．
∴方程总有两个不相等的实数根． 3分
（2）①解：由求根公式，得．
∴或．
∵，
∴．
∵，
∴，． 5分
②． 7分
3．
（1）证明：如图1，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，
则∠GAB=∠HAE．……………………1分
∵∠EAB=∠EGB，∠AOE=∠BOF，
O
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中
∴△ABG≌△AEH ．……………………2分
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
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∴△AGH是等边三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；……………………3分
（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是EG+BG =AG．………4分
证明：
如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．……………………5分
在△ABG和△AEH中
，
∴△ABG≌△AEH．……………………6分
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴AG=HG，
∴EG+BG =AG．……………………7
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