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惠州市2019届高三第一次调研考试
理科数学 2018.07
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）复数的共轭复数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（2）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）(A) (B) (C) (D)
（3）函数的最小正周期为，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
（4）下列有关命题的说法错误的是（ ）
(A)若“”为假命题，则与均为假命题；
(B)“”是“”的充分不必要条件；
(C)若命题，则命题；
(D)“”的必要不充分条件是“”.
（5）已知各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列，则数列的前项和（ ）
(A) (B) (C) (D)
（6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两
个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）
(A) (B) (C) (D)
输出S
结束
输入
i=1
是
开始
i= i +1
S=0
i ≥ 8 ?
否
S = S / 8
（7）若函数，（，且），且，则函数，在同一坐标系中的大致图象是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如
下表所示的数据.
观测次数
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程
图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的的值是（ ）
(A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9
（9）已知和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
（10）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（11）已知函数，若且对任意恒成立，则的最大值为（ ）
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
（12）设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，与抛物线准线交于点，若，则（ ）
(A) (B) 4 (C) 3 (D) 2
二．填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13）若实数x，y满足的约束条件，则函数的最大值是 ．
（14）已知向量，且与共线，则的值为 ．
（15）某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是 ．
（16）已知数列是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数，记集合的元素个数为，把的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________．
…………
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分12分）
在中，锐角满足.
（1）求角的大小；
（2）点在边上，，，，
求的面积。
（18）（本小题满分12分）
如图，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，是棱的延长线上一点，经过点、、的平面交棱于点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
如图，椭圆E：经过点，且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），
证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
（20）（本小题满分12分）
甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；
乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
20
40
20
10
10
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
20
20
40
10
（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为(单位：元), 求的分布列和数学期望；
（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知函数，
（1）试确定函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长的取值范围．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）当时，解不等式：．
惠州市2019届高三第一次调研考理科数学参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
D
A
B
A
B
C
C
B
D
（1）【解析】B；，其共轭复数为；
（2）【解析】D；注意当时，，也满足，故选D；
（3）【解析】C；，，；
（4）【解析】D；由题可知：时， 成立，所以满足充分条件；但时，不一定为，所以 必要条件不成立，故D错；
（5）【解析】A；设的公比为，则，，，或 （舍），；
（6）【解析】B；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B；
（7）【解析】A；由题意是指数型的，是对数型的且是一个偶函数，由，可得出，故，故，由此特征可以确定C、D两选项不正确，且是一个减函数，由此知B不对，A选项是正确答案，故选A；
（8）【解析】B；，
.故选B；
（9）【解析】C；设，是等边三角形，，，，
因此.故选C；
（10）【解析】C；可求出正四棱锥的高为3．设其外接球的半径为，则由两者的位置关系可得，
解得，所以．故选C.
（11）【解析】B；考虑直线与曲线相切时的情形。
设切点为，此时，
即，化简得：，
设，由于，。
故，所以切线斜率的取值范围是，又，，选B；
（12）【解析】D；设直线，，将直线方程代入抛物线方程得：，由韦达定理得： ①，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点，
，即 ②，解得，，故选D。
二、填空题：
（13） （14） （15） （16）
（13）【解析】画出不等式组表示的平面区域，在点处取得最大值，∴．
（14）【解析】向量，，，又与共线，可得，解得．
（15）【解析】由题意可得，有2种分配方案：
①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．
②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种。
（16）【解析】设，则，由题意，当，时， 取最小值1，当，时，取最大值，易知可取遍，即.数阵中前16行共有个数，所以第17行左数第10个数为。
三、解答题：
（17）解析：（1）， …………2分
，， …………4分
又，. …………6分
（2）由（1）可知为等边三角形，且，
在中，，即，， …………9分
，即，
，故， …………11分
…………12分
（18）（1）设四棱柱的棱长为
∵，∽，∴
由，，得， …………2分
∵，∴， …………3分
是直四棱柱，，又，∴，
∵，∴平面 …………4分
∵平面，∴平面平面
…………5分
（2）（方法一）过作于，于，连接 …………6分
由平面平面，平面平面，平面 …………7分
∴，又，，∴平面，，
是二面角的平面角 …………9分
在中，，，，，在中，，，，（、（求得任何一个给2分，两个全对给3分）
， …………12分
（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，， …………7分
设平面的一个法向量为，则即，不妨取，
…………9分
由（1）知，，平面的一个法向量为 …………11分
二面角的平面角的余弦值 …………12分
（19）解：（1）由题意知，b＝1，， …………2分
所以椭圆E的方程为． …………4分
（2）证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由题意知Δ＞0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2≠0，则，， …………6分
所以 …………9分
故直线AP与AQ的斜率之和为定值2． …………12分
（20）解：（1） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件，则； …………4分
（2）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为，则
当时，； 当时，；
当时，；当时，；
当时，．
所以的所有可能取值为152，156，160，166，172． …………6分
故的分布列为：
152
156
160
166
172
． …………8分
（ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为
． …………10分
所以甲公司送餐员日平均工资为元． …………11分
由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为元．
因为，故推荐小明去乙公司应聘． …………12分
（21）解：（1）由得，令，
函数的零点个数即直线与曲线的交点个数，
……1分
如图，由得，∴函数在单调递增，
由得，∴函数在单调递减。
∴当时，函数有最大值， …………3分
又当时，，，当时，
∴当时，函数没有零点；当或时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点。 …………6分
（2）证明：
证法一：
函数的零点即直线与曲线的交点横坐标，
由（1）知，不妨设，得，
∵函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在单调递减，在上单调递增；
要证，只需证，∴只需证， …………8分
又，即要证
∵由得
构造函数，则， …………10分
当时，，，即函数在上单调递减，∴，
即当时，，即. …………12分
证法二：
由（1）知，不妨设，设，
， …………8分
由，易知是减函数，当，，
又，得，所以在递增，，
即 ……10分
由得，又，，
由在上单调递增，得在单调递减，
又，，即
. …………12分
（22）解：（1）∵点C的直角坐标为， …………1分
∴圆C的直角坐标方程为． …………2分
化为极坐标方程是 …………4分
（2）将代入圆C的直角坐标方程，
得，即． …………6分
∴，． …………7分
∴． …………9分
∵，∴，∴．即弦长|AB|的取值范围是 …10分
（23）解：（1）由题意，得，对∀x∈R恒成立，即，
又，∴，解得； …………4分
（2）当时，不等式可化为，
当时，变形为，解得，此时不等式解集为；
当时，变形为，解得：，此时不等式解集为；
当时，不等式解得：，此时不等式解集为，
综上，原不等式的解集为． …………10分
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