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2017—2018学年第二学期期末高二联考
数学理科试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2.复数的实部为
A． B． C． D．
3.的展开式中的系数为
A． B． C． D．
4.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为
A． B． C． D．
5若实数满足条件，则的最小值为
A. B. C. D.
6.在等比数列中，，公比为，前项和为，若数列也是等比数列，则等于
A． B． C． D．
7．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
8．函数的部分图象可能是
A． B．
C． D．
9.抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为
A. B. C. D.
10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高和底面边长均为，则该球的体积为
A. B. C. D.
11．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)[来源:学科网]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为__________． [来源:Zxxk.Com]
14．已知向量，，．若，则__________．
15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”
乙说：“作品获得一等奖”[来源:Zxxk.Com]
丙说：“两项作品未获得一等奖”
丁说：“是作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___________．
16．如图在中，，，点是外一点，,则平面四边形面积的最大值是___________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 记为等差数列的前项和，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求，并求的最小值．
[来源:学|科|网]
18．（本小题满分12分）在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，.
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)为迎接月日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取名男生参加米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图（小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶），如图，若跑步时间不高于秒，则称为“好体能”.
（Ⅰ） 写出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）要从这 人中随机选取人，求至少有人是“好体能”的概率；
（Ⅲ）以这 人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生（人数众多）任取人，记表示抽到“好体能”学生的人数，求的分布列及数学期望.
（20）（本小题满分12分）设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.
21．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）已知，求证．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线： （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆的极坐标方程为.
（Ⅰ） 求圆心的极坐标；
（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与圆的交点为,求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式
（Ⅰ）当时，求不等式解集；
（Ⅱ）若不等式有解，求的范围.
2017—2018学年第二学期期末高二联考
数学理科答案
选择题 CADDB CBBCA AD
填空题
17（I）设的公差为d，由题意得．……………………………………………………………… 3分
由得d=2．
所以的通项公式为．………………………………………………………………………………… 6分
（II）由（1）得．………………………………………………………………………9分
所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．………………………………………………………………………12分
18证明：（I）连接相交于点，取的中点为,连接.
是正方形，是的中点，,
又因为,所以且，
所以四边形是平行四边形，……………………………………………………………………… ………… 3分
，又因为平面,平面
平面…………………………………………………………………5分
（II）是正方形，是直角梯形，，
,平面,同理可得平面.
又平面，所以平面平面,
又因为二面角为，
所以,,,由余弦定理得,
所以,又因为平面，
,所以平面，…………………………………………………7分
以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则,……………………………………8分
所以,设平面的一个法向量为，
则即令，则，
所以………………………………………………………11分
设直线和平面所成角为，
则………………………………………12分
19解：（I）这组数据的众数和中位数分别是；………………………………………………………………3分
（II）设求至少有人是“好体能”的事件为A,则事件A包含得基本事件个数为;
总的基本事件个数为， …………………………………………7分
（Ⅲ） 的可能取值为
由于该校男生人数众多，故近似服从二项分布 …………………………………………………………9分
，,,
的分布列为
故的数学期望 ………………………………………………………………………12分
20（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得
由,从而.
所以，椭圆的方程为. …………………………………………………………………………5分
（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意，，
点的坐标为 由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即.……………………………………………………………………………6分
易知直线的方程为，由方程组 [来源:学|科|网Z|X|X|K]
消去y，可得.
由方程组消去，可得. …………………………………………………………9分
由，可得，
两边平方，整理得，解得，或.
当时，，不合题意，舍去；
当时，，，符合题意.
所以，的值为. ………………………………………………………………………………12分
21解：（I）因为，
…………………………………………………………2分
当时；当时，
则在单调递增，在单调递减. 所以的最大值为. …………………………………………………………………5分
（II）由得，，………7分
则，又因为，有，
构造函数………………………………………9分
则，
当时，，可得在单调递增，
有， ……………………………………………………11分
所以有．………………………………………12分
22解：（I）由题意可知圆的直角坐标系方程为，
所以圆心的极坐标为. ……………………………………………4分
（II）因为圆的直角坐标系方程为，直线方程为，
得到所以. ………………………………………10分
23解：（I）当时，则
所以
即不等式解集为. ………………………………………………5分
（II）令，由题意可知；
又因为
所以，即. …………………………………………10分
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