2.7 探索勾股定理(二)
A组
1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是(B)
A．，， B．1，，
C．6，7，8 D．2，3，4
2．若一个三角形的三边长a，b，c满足(a＋c)(a－c)＝b2，则该三角形是(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．都有可能
3．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是(B)
A．12．5 B．12
C． D．9
(第4题)
4．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝__6．5__．
5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD．
(2)线段CD的长为____，AD的长为__5__．
(3)△ACD为__直角__三角形．
,(第5题)) ,(第5题解))
【解】 (1)如解图．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝41，D是AC上的点，DC＝1，BD＝9，求△ABC的面积．
(第6题)
【解】 ∵AC＝41，CD＝1，
∴AD＝AC－CD＝40．
又∵BD＝9，
∴BD2＋AD2＝92＋402＝1681．
又∵AB2＝412＝1681，
∴AB2＝BD2＋AD2，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴S△ABC＝AC·BD＝×41×9＝184．5．
B组
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足|c2－a2－b2|＋(a－b)2＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．
【解】 ∵|c2－a2－b2|＋(a－b)2＝0，
∴|c2－a2－b2|＝0，(a－b)2＝0，
∴c2＝a2＋b2，a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(第8题)
8．如图，P为正三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝，则正三角形ABC的面积为____．
【解】 ∵△ABC为正三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACD的位置，连结PD．
∵△ACD≌△ABP，
∴DA＝PA，DC＝PB，∠ADC＝∠APB．
∵△ABP逆时针旋转60°，∴∠PAD＝60°，
∴△PAD为正三角形，∴PD＝PA＝1．
∵DC＝PB＝2，PC＝，
∴PD2＋PC2＝CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠DPC＝90°．
∵CD＝2，PD＝1，
∴∠PCD＝30°，∴∠PDC＝60°，
∴∠ADC＝120°，∴∠APB＝120°．
∴∠BPC＝360°－∠APB－∠APD－∠CPD＝90°．
∴BC2＝PB2＋PC2．
∵PB＝2，PC＝，∴BC＝．
∵△ABC为正三角形，∴S△ABC＝BC2＝．
9．已知a，b，c满足＋＋(c－)2＝0．
(1)求a，b，c的值．
(2)判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【解】 (1)∵a，b，c满足＋＋(c－)2＝0．
∴＝0，＝0，(c－)2＝0，
解得a＝，b＝5，c＝．
(2)∵a＝，b＝5，c＝，
∴a＋b＝＋5>2＋5＝7＝>，
∴以a，b，c为边能构成三角形．
∵a2＋b2＝()2＋52＝32＝c2，
∴此三角形是直角三角形，
∴S＝××5＝．
(第10题)
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝．求∠CPA的度数．
【解】 将△APB绕点A逆时针旋转90°到△AQC的位置，连结PQ，则易得△APQ为等腰直角三角形，且△AQC≌△APB，
∴QA＝PA＝1，QC＝PB＝3．
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ2＝PA2＋AQ2＝2，∠APQ＝45°．
在△CPQ中，PC2＋PQ2＝7＋2＝9＝QC2，
∴∠QPC＝90°，
∴∠CPA＝∠QPC＋∠APQ＝135°．
数学乐园
11．如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在边AB，对角线BD上，EG∥AD，F为GD的中点，连结FC．求证：EF⊥FC．导学号：91354014
,(第11题)) ,(第11题解))
【解】 如解图，过点F作FH⊥AB于点H，FK⊥AD于点K，延长HF交CD于点I．
由题意易得四边形FIDK是正方形，四边形AKFH是长方形，
∴AK＝HF，KD＝DI＝FI＝KF＝AH．
∵AD＝CD，∴IC＝AK＝HF．
∵AD∥FH∥EG，F是DG的中点，
∴易证得HA＝HE，∴HE＝FI．
在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理，得
EF2＝HE2＋HF2，FC2＝FI2＋IC2，
∴EF2＋FC2＝HE2＋HF2＋FI2＋IC2＝2HE2＋2HF2．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
EC2＝BE2＋BC2．
∵BE2＝(AB－AE)2＝(AD－2HE)2
＝(HF＋FI－2HE)2＝(HF＋HE－2HE)2
＝(HF－HE)2＝HF2－2HF·HE＋HE2，
BC2＝(HF＋FI)2＝(HF＋HE)2
＝HF2＋2HF·HE＋HE2，
∴EC2＝BE2＋BC2＝HF2－2HF·HE＋HE2＋HF2＋2HF·HE＋HE2
＝2HE2＋2HF2，
即EF2＋FC2＝EC2，
∴△EFC是直角三角形，且∠EFC＝90°，
∴EF⊥FC．
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