www.ks5u.com
高二数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列运算正确的为（ ）
A．（为常数） B．
C． D．
2.已知，则复数（ ）
A． B． C． D．
3.已知曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C． D．
4.随机变量，且，则（ ）
A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.80
5.设，那么（ ）
A． B． C． D．
6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是偶数”，则（ ）
A． B． C． D．
7.用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是（ ）
A．在上没有零点 B．在上至少有一个零点
C．在上恰好有两个零点 D．在上至少有两个零点
8.在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（ ）
A．21 B．63 C．189 D．729
9.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．在上是增函数
D．在时，取极大值
10.若是离散型随机变量，，，又已知，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．1
11.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种
A．19 B．26 C．7 D．12
12.已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13.某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表
玩手机
不玩手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
经计算的值，则有 的把握认为玩手机对学习有影响．
附：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，.
14.由曲线与围成的封闭图形的面积是 ．
15.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算 ．
16.对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是 （填上所有正确的序号）．
① ②
③ ④
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知，，为实数.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求实数，的值.
18.已知函数.
（Ⅰ）若在处取得极值，求的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间内有极大值和极小值，求实数的取值范围.
19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：
售出水量（单位：箱）
7
6
6
5
6
收入（单位：元）
165
142
148
125
150
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金.
（Ⅰ）若售出水量箱数与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？
（Ⅱ）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望.
附：回归直线方程，其中，.
20.如图（1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为分米的半圆和矩形组成，其中长为分米，如图（2）.为了美观，要求.已知该首饰盒的长为分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为百元.
（Ⅰ）写出关于的函数解析式；
（Ⅱ）当为何值时，该首饰盒的制作费用最低？
21.已知函数在点处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）已知，若使成立，求实数的取值范围.
高二数学（理科）试题参考答案
一、选择题
1-5: CABBD 6-10: BDCCD 11、12：BA
二、填空题
13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. ①②④
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵，∴.
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，
∴
.
∴，
解得，
∴，的值为：-3，2.
18.解：，
（Ⅰ）∵在处取得极值，
∴，∴，∴，
∴，令，则，
∴，
∴函数的单调递减区间为.
（Ⅱ）∵在内有极大值和极小值，
∴在内有两不等实根，对称轴，
∴，
即，
∴.
19.解：（Ⅰ），，
，
，
所以线性回归方程为，
当时，的估计值为206元；
（Ⅱ）甲乙两名同学所获得奖学金之和的可能取值为0，300，500，600，800，1000；
；
；
；
；
；
.
0
300
500
600
800
1000
所以的数学期望.
20.解：（Ⅰ）由题知，
∴.
又因，得，
∴
.
（Ⅱ）令，
∴，
令则，
∵，
当时，函数为增函数.
∴时，最小.
答：当分米时，该首饰盒制作费用最低.
21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，，
所以函数在点处的切线的斜率.
∵该切线与直线垂直，所以，解得.
∴，，
令，解得.
显然当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
∴函数的极大值为，函数无极小值.
（Ⅱ）在上恒成立，等价于在上恒成立，
令，则，
令，则在上为增函数，即，
①当时，，即，则在上是增函数，
∴，故当时，在上恒成立.
②当时，令，得，
当时，，则在上单调递减，，
因此当时，在上不恒成立，
22.解：（Ⅰ）将（为参数，）消去参数，
得直线，，即.
将代入，得，
即曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）设直线的普通方程为，其中，又，
∴，则直线过定点，
∵圆的圆心，半径，，
故点在圆的内部.
当直线与线段垂直时，取得最小值，
∴.
23.解：（Ⅰ）∵，若恒成立，需，
即或，
解得或.
（Ⅱ）∵，∴当时，，
∴，即，成立，
由，∵，∴（当且仅当等号成立），
∴.
又知，∴的取值范围是.
微信/支付宝扫码支付