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第2课时 坡度与坡角、方向角相关问题
一、选择题
1．坡度等于1∶的斜坡的坡角等于( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．2016·苏州如图K－36－1，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )
图K－36－1
A．2 m B．2 m
C．(2 －2) m D．(2 －2) m
3．某水坝的坡度i＝1∶，坡长为20米，则水坝的高度为( )
A．10米 B．20米 C．40米 D.米
4．如图K－36－2，在平地MN上用一块10 m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC＝7.5 m，AD＝6 m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是( )
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图K－36－2
A．3∶5 B．4∶5 C．3∶4 D．4∶3
二、填空题
5．如图K－36－3，如果在坡度i＝1∶2.4的斜坡上两棵树之间的水平距离AC为3米，那么两棵树之间的坡面距离AB是________米．
图K－36－3
6．如图K－36－4，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
图K－36－4
7．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图K－36－5所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF＝________°.
图K－36－5
三、解答题
8．如图K－36－6，要测量点A到河岸BC的距离，在点B测得点A在点B的北偏东30°方向上，在点C测得点A在点C的北偏西45°方向上，又测得BC＝150 m．求点A到河岸BC的距离．(结果精确到1 mm，参考数据：≈1.41，≈1.73)
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图K－36－6
9．2017·黔东南州如图K－36－7，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果精确到1 m，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)
图K－36－7
10．某地的一座人行天桥如图K－36－8所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要被拆除？请说明理由．
图K－36－8
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11．如图K－36－9，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)，以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向上，距离60 千米处有一城市A.
(1)A市是否会受到此台风的影响？为什么？
(2)在点O的北偏东15°方向上，距离80千米处还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
图K－36－9
12阅读与探究阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有＝＝，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.
解：在△ABC中，∵＝，∴b＝＝＝3 .
理解应用：
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如图K－36－10，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．
(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；
(2)求乙船每小时航行多少海里？
图K－36－10
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1．[答案] A
2．[解析] B 在Rt△ABD中，sin∠ABD＝，则AD＝4sin60°＝2 (m)．
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，所以AC＝＝2 (m)．
3．[答案] A
4．[解析] C 由题意可得：AB＝10 m，AD＝6 m，则BD＝＝8(m)，
故斜坡AB的坡度是AD∶BD＝6∶8＝3∶4.故选C.
5．[答案] 3.25
[解析] ∵坡度i＝1∶2.4，∴设BC＝x米，则AC＝2.4x米，∴AB＝＝＝2.6x.∵AC＝3米，∴＝＝，解得AB＝3.25(米)．
6．[答案] 27.8°
[解析] ∵tanA＝＝，∴∠A≈27.8°.
7．[答案] 70
[解析] ∵OM＝60海里，ON＝80海里，MN＝100海里，∴OM2＋ON2＝MN2，∴∠MON＝90°.∵∠EOM＝20°，∴∠NOF＝180°－20°－90°＝70°.
8．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
设AD＝x m.
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，
∴BD＝AD·tan30°＝x(m)．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝x m.
∵BD＋CD＝BC，∴x＋x＝150，
∴x＝75(3－)≈95(m)．
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答：点A到河岸BC的距离约为95 m.
9．解：假设点D平移到点D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′.∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 (米)，CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝6 米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝≈≈12.8(米)，∴DD′＝EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全．
10．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶，
∴tanα＝tan∠CAB＝＝，∴∠α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要被拆除．理由：过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶，∴BD＝CD＝6米，AD＝6 米，∴AB＝AD－BD＝(6 －6)米＜8米，∴文化墙PM不需要被拆除．
11 解：(1)A市不会受到此台风的影响．理由如下：
过点A作AD⊥OC于点D，由题意得∠DOA＝45°，OA＝60 千米，∴AD＝DO＝60千米．∵60＞50，∴A市不会受到此台风的影响．
(2)B市会受到此台风的影响．如图，过点B作BG⊥OC于点G.
由题意得∠BOC＝30°，OB＝80千米，
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∴BG＝OB＝40千米．
∵40＜50，∴B市会受到此台风的影响．
如图，设台风中心位于EF之间时，B市受到影响，则由题意，得BE＝BF＝50千米，
∴EG＝＝30千米，
∴EF＝2EG＝60千米．
∵风速为40千米/时，
∴60÷40＝1.5(时)，∴B市受到影响的时间为1.5小时．
11 解：(1)△A1A2B2是等边三角形．
证明：连接A1B2.
∵甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达点A2，
∴A1A2＝30 ×＝10 (海里)．
又∵A2B2＝10 海里，∠A1A2B2＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形．
(2)如图，∵B1N∥A1A2，
∴∠A1B1N＝75°，
∴∠A1B1B2＝75°－15°＝60°.
∵△A1A2B2是等边三角形，
∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10 海里，
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∴∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°.
在△B1A1B2中，∵A1B2＝10 海里，∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，
由阅读材料可知＝，
解得B1B2＝＝(海里)，
∴乙船每小时航行÷＝20 (海里)．
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