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第24章检测题
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1． sin30°的值为( A )
A. B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( A )
A. B. C. D.
3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，那么sinB的值是( C )
A. B. C. D.
4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( D )
A. B. C．2 D.
,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) ,第7题图)
5．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( C )
A.米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于( A )
A．2 B．3 C．3 D．2
7．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，
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测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：米)为( C )
A．50 B．51 C．50＋1 D．101
8．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF∶BC＝1∶2，连结DF，EC.若AB＝5，AD＝8，sinB＝，则DF的长等于( C )
A. B. C. D．2
,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9．如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( C )
A．1 B．sinα C. D.
10．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( B )
A．4 km B．(2＋) km C．2 km D．(4－) km
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tanB＝__2__．
12．在△ABC中，AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，则sinA＋sinB＝____．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点O是BC的中点，点P是射线AO上的一个动点，则当∠BPC＝90°时，AP的长为__＋1或－1__．
,第13题图) ,第14题图) ,
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第15题图) ,第16题图)
14．如图，一束光线照在坡度为1∶的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是__30__度．
15．如图，菱形的两条对角线分别是8和4，较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cosθ＝____.
16．为测量某观光塔的高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__米．
17．如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为__100__米．
18．(2016·盐城)已知△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为__8或24__．
三、解答题(共66分)
19．(8分)计算：
(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cos60°.
解：原式＝ 解：原式＝－
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20．(8分)△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3，∠A＝30°，求∠B，b，c.
解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4
(2)∠B＝60°，b＝9，c＝6
21．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E为线段BC的中点，AD＝2，tan∠ABD＝.
(1)求AB的长；
(2)求sin∠EDC的值．
解：(1)∵AD＝2，tan∠ABD＝，∴BD＝2÷＝4，∴AB＝＝＝2
(2)∵BD⊥AC，E点为线段BC的中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠C，∵∠C＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠C＝∠ABD，∴∠EDC＝∠ABD，在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝＝，即sin∠EDC＝
22．(8分)小明坐于堤边垂钓，如右图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾角为60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解：延长OA交BC的延长线于点D，则△BOD为等边三角形，则由题意知∠CAD＝90°，AD
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＝AC·tan∠ACD＝(m)，CD＝＝3(m)，BD＝OD＝3＋＝4.5(m)，∴BC＝1.5(m)
23．(10分)(2016·自贡)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7)
解：作CD⊥AB交AB延长线于点D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠ADC＝25°，∵tan25°＝＝0.5，∴AD＝＝2x.Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得x＝3.即生命迹象所在位置C的深度约为3米
24．(12分)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α为60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(取1.73)
(1)求楼房的高度约为多少米？
(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．
解：(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，∵tan60°＝＝，∴AB＝10·tan60°＝10≈10×1.73＝17.3米，即楼房的高度约为17.3米
(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H.∵∠BFA＝45°，∴tan45°＝＝1，此时的影长AF＝AB＝17.3米，∴CF＝AF－AC＝17.3－17.2＝0.1米，∴CH＝CF＝0.1米，∴
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大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫仍可以晒到太阳
25．(12分)(2016·资阳)如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．
(1)求出此时点A到岛礁C的距离；
(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)
解：(1)如图，延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由题意可得∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得AC＝40，即点A到岛礁C的距离为40海里
(2)如图，过点A′作A′E⊥AD于点E，作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝15°，∴A′B平分∠CBA，A′N＝A′E，设AA′＝x，则A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x＋x＝40，解得x＝60－20.即此时“中国海监50”的航行距离为160－20海里
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