2018年秋九年级数学上册第2章对称图形—圆复习题（新版）苏科版.doc

1 第 2 章 对称图形——圆 类型之一　圆的有关性质 1．[2017·宜昌] 如图 2－X－1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正 确的是(　　) A．AB＝AD B．BC＝CD C.AB︵ ＝AD︵ D．∠BCA＝∠ACD 图 2－X－1 　　　 图 2－X－2 .如图 2－X－2，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OC⊥AB，点 P 在⊙O 上，∠APC＝26°， 则∠BOC＝________°. 3．如图 2－X－3，在⊙O 中，弦 AB∥CD.若∠ABC＝40°，则∠BOD＝(　　) A．80° B．50° C．40° D．20° 图 2－X－3 　　　 图 2－X－4 类型之二　切线的性质与判定2 4．如图 2－X－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 D，CD 与 AB 的延长线交 于点 C，∠A＝30°，给出下面 3 个结论： ①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 5．如图 2－X－5，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠BAD＝35°，过点 D 作⊙O 的切线 交 AB 的延长线于点 C，则∠C＝________°. 图 2－X－5 　　　 图 2－X－6 .如图 2－X－6，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝12，过 A，D 两点的⊙O 与 BC 边相切于点 E，则⊙O 的半径为________． 7．[2017·宿迁改编] 如图 2－X－7，AB 与⊙O 相切于点 B，BC 为⊙O 的弦，OC⊥OA，OA 与 BC 相交于点 P. (1)求证：AP＝AB； (2)若 OB＝4，OP＝2，求线段 AB 的长． 图 2－X－7 8．已知在⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B. (1)如图 2－X－8①，若∠BAC＝23°，求∠AMB 的度数； (2)如图 2－X－8②，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D.若 BD＝MA，求∠AMB 的度 数．3 图 2－X－8 类型之三　圆中的有关计算 图 2－X－9 9．[2016·南京二模] 如图 2－X－9，已知正方形的边长为 1，若圆与正方形的四条边都 相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 10．如图 2－X－10，点 A 在以 BC 为直径的⊙O 内，且 AB＝AC，以点 A 为圆心，AC 长为 半径作弧，得到扇形 ABC，剪下扇形 ABC 围成一个圆锥(AB 和 AC 重合)．若∠BAC＝120°，BC ＝ 3，则这个圆锥底面圆的半径是(　　) A. 1 3 B. 2 3 C. 2 D. 3 图 2－X－10 　　　 图 2－X－114 11．如图 2－X－11，⊙O 的半径为 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接 OB，OC.若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为(　　) A．3 3 B．4 3 C．5 3 D．6 3 12．[2017·莱芜] 圆锥的底面周长为 2π 3 ，母线长为 2，P 是母线 OA 的中点，一根细绳(无 弹性)从点 P 绕圆锥侧面一周回到点 P，则细绳的最短长度为________． 13．如图 2－X－12，AB 为⊙O 的直径，AC，DC 为弦，∠ACD＝60°，P 为 AB 延长线上的 点，∠APD＝30°. (1)求证：DP 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 3 cm，求图中阴影部分的面积． 图 2－X－12 类型之四　圆中的分类讨论题 14．若一个点到圆上的点的最小距离为 3 cm，最大距离为 8 cm，则该圆的半径是(　　) A．5 cm 或 11 cm B．2.5 cm C．5.5 cm D．2.5 cm 或 5.5 cm 15．在半径为 1 的⊙O 中，若弦 AB，AC 的长分别是 2， 3，则∠BAC 的度数为(　　) A．15° B．15°或 75° C．75° D．15°或 65° 16．已知△ABC 内接于半径是 6 cm 的⊙O，弦 AB＝6 3 cm，则弦 AB 所对的圆周角∠ACB 的度数是(　　) A．30° B．60° C．60°或 120° D．30°或 150° 类型之五　圆中的动点问题 图 2－X－13 17．如图 2－X－13，在 Rt△AOB 中，OA＝OB＝3 2，⊙O 的半径为 1，P 是 AB 边上的动 点，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ(点 Q 为切点)，则线段 PQ 的最小值为________． 18．如图 2－X－14，已知⊙O 的直径 AB＝12 cm，AC 是⊙O 的弦，过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 P，连接 BC. (1)求证：∠PCA＝∠B；5 (2)已知∠P＝40°，点 Q 在优弧 ABC 上，从点 A 开始逆时针运动到点 C 停止(点 Q 与点 C 不重合)，当△ABQ 与△ABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长． 图 2－X－146 详解详析 1．B　[解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等， 可知选项 B 正确． 2．52　[解析] ∵OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OC⊥AB， ∴AC︵ ＝BC︵ ， ∴∠BOC＝2∠APC＝2×26°＝52°. 3．A　[解析] ∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°.故选 A. 4．A　[解析] ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°. 连接 OD，如图，∵OD＝OB， ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠ODB＝∠DOB＝60°. ∵CD 是⊙O 的切线，∴OD⊥DC， ∴∠BDC＝∠C＝30°， ∴BD＝BC，∠C＝∠A， ∴AD＝CD. ∵在 Rt△ADB 中，∠A＝30°，∴BD＝ 1 2AB， 即 AB＝2BD，∴AB＝2BC. 因此结论①②③都正确．故选 A. 5． 20　[解析] 如图，连接 OD. ∵CD 是⊙O 的切线，∴OD⊥CD. ∵∠COD＝2∠BAD＝2×35°＝70°， ∴∠C＝90°－∠COD＝20°. 6．6.25　[解析] 如图，连接 OE，并反向延长 OE 交 AD 于点 F，连接 OA. ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°. ∵四边形 ABCD 是矩形，7 ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形 CDFE 是矩形， ∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD， ∴AF＝ 1 2AD＝ 1 2×12＝6. 设⊙O 的半径为 x，则 OF＝EF－OE＝8－x. 在 Rt△OAF 中，OF2＋AF2＝OA2， 则(8－x)2＋36＝x2， 解得 x＝6.25， ∴⊙O 的半径为 6.25. 故答案为 6.25. 7．解：(1)证明：∵AB 与⊙O 相切于点 B， ∴∠ABO＝90°， ∴∠ABP＋∠OBC＝90°. ∵OC⊥OA，∴∠OPC＋∠C＝90°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C， ∴∠ABP＝∠OPC. 又∵∠APB＝∠OPC， ∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB. (2)设 AP＝AB＝x，则 OA＝2＋x. 在 Rt△AOB 中，AB2＋OB2＝OA2， ∴x2＋42＝(x＋2)2， 解得 x＝3，即线段 AB 的长是 3. 8．[解析](1)根据切线的性质得到AM⊥AC，可得出∠MAC 为直角，可求∠MAB 的度数．又 由切线长定理得到 MA＝MB，进而求得∠AMB 的度数； (2)连接 AB，AD，由直径 AC 垂直于弦 BD，根据垂径定理得到 A 为优弧 BAD 的中点，根据 等弧对等弦可得出 AB＝AD.而 AM⊥AC，BD⊥AC，则 BD∥AM.又 BD＝AM，可知四边形 ADBM 为平 行四边形，再由邻边 MA＝MB，得到四边形 ADBM 为菱形．根据菱形的邻边相等可得出 BD＝AD， 进而得到 AB＝AD＝BD，即△ABD 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D 为 60°，再 利用菱形的对角相等可得出∠AMB＝∠D＝60°. 解：(1)∵MA 切⊙O 于点 A， ∴∠MAC＝90°. 又∵∠BAC＝23°， ∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝67°. ∵MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B， ∴MA＝MB， ∴∠MBA＝∠MAB＝67°， ∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝46°. (2)连接 AD，AB. ∵MA⊥AC，BD⊥AC， ∴BD∥MA. 又∵BD＝MA， ∴四边形 MADB 是平行四边形． 又∵MA＝MB，8 ∴▱MADB 是菱形， ∴AD＝BD. ∵AC 为⊙O 的直径，AC⊥BD， ∴AB︵ ＝AD︵ ， ∴AB＝AD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴在菱形 MADB 中，∠AMB＝∠D＝60°. 9.B　[解析] ∵正方形的边长为 1，圆与正方形的四条边都相切， ∴S 阴影＝S 正方形－S 圆＝1－0.25π≈0.21. 10．A　11.B 12．1 13．解：(1)证明：连接 OD. ∵∠ACD＝60°， ∴由圆周角定理，得∠AOD＝2∠ACD＝120°， ∴∠DOP＝180°－120°＝60°. ∵∠APD＝30°， ∴∠ODP＝180°－30°－60°＝90°， ∴OD⊥DP. ∵OD 为⊙O 的半径，∴DP 是⊙O 的切线． (2)∵∠APD＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3 cm， ∴OP＝6 cm，由勾股定理，得 DP＝3 3 cm， ∴图中阴影部分的面积 S＝S△ODP－S 扇形 ODB＝ 1 2×3×3 3－ 60π × 32 360 ＝(9 3 2 － 3 2π) cm2. 14．D　[解析] 当点 P 在圆内时，圆的直径是 11 cm，因而半径是 5.5 cm； 当点 P 在圆外时，圆的直径是 5 cm，因而半径是 2.5 cm.故选 D. 15．B　[解析] 如图①，分别连接 OA，OB，OC.过点 O 分别作 OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于 点 E. 则 AD＝ 2 2 ，AE＝ 3 2 . ∵OA＝1，∴OD＝ 2 2 ＝AD，OE＝ 1 2， ∴∠OAD＝45°，∠OAE＝30°， ∴∠BAC＝75°. 如图②，同理可得∠OAD＝45°，∠OAE＝30°， ∴∠BAC＝45°－30°＝15°，故选 B.9 16．C　[解析] 连接OA，OB，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，易得 OD＝3，∴∠OAB＝30°，∴∠ AOD＝60°，∴∠AOB＝120°. 当点 C 在劣弧 AB 上时，如图①所示，∠ACB＝ 1 2×(360°－120°)＝120°； 当点 C 在优弧 ACB 上时，如图②所示，∠ACB＝ 1 2∠AOB＝60°.故选 C. 17．2 2　[解析] 如图，连接 OP，OQ. ∵PQ 是⊙O 的切线， ∴OQ⊥PQ. 根据勾股定理知 PQ2＝OP2－OQ2. 当 OP⊥AB 时，线段 OP 最短，此时线段 PQ 最短． ∵在 Rt△AOB 中，OA＝OB＝3 2， ∴AB＝6，∴OP＝3， ∴PQ＝ OP2－OQ2＝2 2. 18．[全品导学号：54602137]解：(1)证明：如图，连接 OC. ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCO＝90°， ∴∠1＋∠PCA＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠2＋∠B＝90°. ∵OC＝OA，∴∠1＝∠2， ∴∠PCA＝∠B. (2)∵∠P＝40°，∠PCO＝90°，∴∠AOC＝50°. ∵AB＝12，∴OA＝6. 当点 Q 在 AB 下方，且∠AOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ 与△ABC 的面积相等， 此时点 Q 所经过的弧长＝ 50 × π × 6 180 ＝ 5π 3 (cm)； 当点 Q 在 AB 下方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ 与△ABC 的面积相等，10 此时点 Q 所经过的弧长＝ 130 × π × 6 180 ＝ 13π 3 (cm)； 当点 Q 在 AB 上方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°，即∠AOQ＝230°时，△ABQ 与△ABC 的面积 相等， 此时点 Q 所经过的弧长＝ 230 × π × 6 180 ＝ 23π 3 (cm)． ∴当△ABQ 与△ABC 的面积相等时，动点 Q 所经过的弧长为 5π 3 cm 或 13π 3 cm 或 23π 3 cm.