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[A 基础达标]
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选D.由于公比q＝－0，
所以a4＋a8＝
＝＝.
答案：
7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，
则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
8．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列．且，，成等差数列，则＋的值是________．
解析：由题意可得所以y＝，所以＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝.
答案：
9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．
解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，
这三个数可表示为2－d，2，2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解之得d＝6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为－4，2，8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．
此时三个数为8，2，－4.
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③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
所以d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4，2，8.
10．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列(n≥2，n∈N＋)的前n项和．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为a＝9a2a6＝9a，
所以q2＝＝，因为an＞0，所以q＞0，所以q＝，
因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝，
所以an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝log3(a1·a2·…·an)
＝log3＝－.
设数列的前n项和为Sn，
则Sn＝－2
＝－2
＝－2＝－.
[B 能力提升]
11．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝( )
A．20 B．512
C．1 013 D．1 024
解析：选D.因为bn＝，且b10·b11＝2，
又{bn}是等比数列，
所以b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，
则··…＝b1b2b3…b20＝210，即＝1 024，
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从而a21＝1 024a1＝1 024.
12．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
解析：因为＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝＝＝－.
答案：－
13．如图所示，在边长为1的等边三角形A1B1C1中，连接各边中点得△A2B2C2，再连接△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3，…，如此继续下去，试证明数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
证明：由题意，得△AnBnCn(n＝1，2，3…)的边长AnBn构成首项为1，公比为的等比数列，故AnBn＝，所以S△AnBnCn＝，
所以＝＝.
因此，数列S△A1B1C1，S△A2B2C2，S△A3B3C3，…是等比数列．
14．(选做题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
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即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．
(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列．则b＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m，k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－
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