湖南师大附中2019届高三摸底考试（高二上学期期末考试）理数试卷Word版含答案.doc

炎德·英才大联考湖南师大附中 2018 年春季高二期末考试暨 2019 届高三摸底考试 数 学(理科) 命题：贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才 审题：高二数学备课组 时量：120 分钟 满分：150 分 得分：______________ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数 z 满足(2＋i)z＝2－i(i 为虚数单位)，则 z 等于 A．3＋4i B．3－4i C.3 5 ＋4 5i D.3 5 －4 5i 2．已知 P＝{x|x2－5x＋4＜0}，Q＝{x|y＝ 4－2x}，则 P∩Q 等于 A．(1，4) B．[2，4) C．(1，2] D．(－∞，2] 3．已知两组样本数据{x1，x2，…，xn}、{y1，y2，…，ym}的平均数分别为 h 和 k，则把 两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为 A.h＋k 2 B.nh＋mk m＋n C.mh＋nk m＋n D.h＋k m＋n 4．已知{an}为等比数列，a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a4＋a7＋a10 等于 A．－7 B．－5 C．5 D．7 5．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论： ①直线 BE 与直线 CF 异面； ②直线 BE 与直线 AF 异面； ③直线 EF∥平面 PBC； ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)以及双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 A．2 或2 3 3 B. 6或2 3 3 C．2 或 3 D. 3或 6 7．函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π 6 个单位后关于 y 轴对称，则φ的值是 A．0 B.π 6 C.π 3 D.5π 6 8．在正三角形 ABC 内任取一点 P，则点 P 到 A，B，C 的距离都大于该三角形边长一半 的概率为 A．1－ 3π 6 B．1－ 3π 12 C．1－ 3π 9 D．1－ 3π 18 9．底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A.2 2π 3 B. 3π 3 C.2 3π 3 D. 2π 3 10．在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与 直线 2x＋y－4＝0 相切，则圆 C 面积的最小值为 A.4π 5 B.3π 4 C．(6－2 5)π D.5π 4 11．已知函数 f(x)＝ ex，x≤0， x2＋ax＋1，x＞0，F(x)＝f(x)－x－1，且函数 F(x)有 2 个零点，则实 数 a 的取值范围为 A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 12．已知[x)表示大于 x 的最小整数，例如[3)＝4，[－1.3)＝－1，下列命题中正确的是 ①函数 f(x)＝[x)－x 的值域是(0，1]； ②若{an}是等差数列，则{[an)}也是等差数列； ③若{an}是等比数列，则{[an)}也是等比数列； ④若 x∈(1，2 018)，则方程[x)－x＝1 2 有 2 017 个根． A．②④ B．③④ C．①③ D．①④ 选择题答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 答 案 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分． 13．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学参加体能 测试的概率为________．(结果用最简分数表示) 14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔， 周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．” 就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积 V＝ 1 12 ×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的 取值为________．(注：一丈＝10 尺) 15. 1＋ 1 x2 (1＋x)6 展开式中 x2 的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图 2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点 O 且三组对边分别平 行．点 A，B 是“六芒星”(如图 1)的两个顶点，动点 P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，则 x＋y 的最大值是________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 11 分) 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC＝β. (1)求 2cos α－cos β的最大值； (2)若 BD＝1，cos β＝1 7 ，求△ABD 的面积．18.(本小题满分 11 分) 已知正项等比数列{an}的公比为 q，且 a3＋a4＋a5＝ 7 16 ，3a5 是 a3，a4 的等差中项．数列{bn} 满足 b1＝1，数列{(bn＋1－bn)·an}的前 n 项和为 2n2＋n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式．19.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三 角形，俯视图为直角梯形． (1)设Μ为ΑΒ中点，若BP→＝1 3PC→.求证：ΜΡ∥平面 CΝΒ1； (2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求 sin θ的值．20.(本小题满分 12 分) 某卫生监督检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改 后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店 整改前合格的概率是 0.5，整改后复查合格的概率是 0.8.计算： (1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率； (2)平均有多少家餐饮店必须整改； (3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到 0.01)21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)，其焦点为 F1，F2，离心率为 2 2 ，若点 P 2 2 ， 3 2 满足|PF1| ＋|PF2|＝2a. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重 心 G 满足：F1G→ ·F2G→ ＝－5 9 ，求实数 m 的取值范围．22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)＝ln(x＋a)＋x2. (1)若 f(x)为定义域上的单调函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 g(x)＝ex＋x2－f(x)，当 a≤2 时，证明：g(x)>0.炎德·英才大联考湖南师大附中 2018 年春季高二期末考试暨 2019 届高三摸底考试 数学(理科)参考答案 一、选择题 1．D 【解析】由(2＋i)z＝2－i，得 z＝2－i 2＋i ＝（2－i）（2－i） （2＋i）（2－i） ＝3 5 －4 5i，故选 D. 2．C 【解析】解 x2－5x＋4＜0，即(x－1)(x－4)＜0，得 1＜x＜4，故 P＝(1，4)．Q 表 示函数 y＝ 4－2x的定义域，所以 4－2x≥0，所以 x∈(－∞，2]，即 Q＝(－∞，2]．故 P∩Q ＝(1，2]．故选 C. 3．B 【解析】因为样本数据{x1，x2，…，xn}的平均数为 h，{y1，y2，…，ym}的平均数 为 k，所以第一组数据和为 nh，第二组数据和为 mk，因此把两组数据合并成一组以后，这组 样本的平均数为nh＋mk m＋n ，故选 B. 4．B 【解析】由等比数列的性质可得 a5a6＝a4a7＝－8，又 a4＋a7＝2，解得 a4＝－2， a7＝4 或 a7＝－2，a4＝4，因为 a7＝a1q6>0，所以 a4＝－2，a7＝4，a7＝a4q3＝－2q3＝4，所以 q3＝－2，所以 a1＝a4 q3 ＝1，a10＝a7q3＝－8，所以 a1＋a4＋a7＋a10＝－5，故选 B. 5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为 E，F 分别为 PA，PD 的中点，所以 EF∥AD∥BC，即直线 BE 与 CF 共面，①错；因为 B∉平面 PAD，E∈平面 PAD，E∉AF，所以 BE 与 AF 是异面直线，②正确；因为 EF∥AD∥BC，EF平面 PBC，BC平面 PBC，所以 EF∥平面 PBC，③正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，④错．故选 B. 6．A 【解析】由题意可知，双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的倾斜角为 30°或 60°，则 k＝b a ，∴k＝ 3或 3 3 ，则 e＝c a ，∴e＝ c2 a2 ＝ a2＋b2 a2 ＝ 1＋b2 a2 ＝2 或2 3 3 . 7．D 【解析】f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π 6 个单位后得到的函数是 g(x)＝ sin 2x－π 3 ＋φ ，又 g(0)＝sin －π 3 ＋φ ＝±1，得φ－π 3 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，∴φ＝kπ＋5π 6 (k∈Z)， 故选 D. 8．A 【解析】满足条件的正三角形 ABC 如图所示：设边长为 2，其中正三角形 ABC 的 面积 S△ABC＝ 3 4 ×4＝ 3.满足到正三角形 ABC 的顶点 A，B，C 的距离至少有一个小于 1 的平 面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为 1 的半圆，则 S 阴影＝1 2 π，则使取到的点 到三个顶点 A，B，C 的距离大于 1 的概率 P＝1－ 3π 6 ，故选 A. 9．D 【解析】设四棱锥为 P－ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PA＝PB＝PC＝PD＝1 的外接球的半径为 R，过 P 作 PO1⊥底面 ABCD，垂足 O1 为正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设球心为 O，连接 AO，由于 AO＝PO＝R，AO1＝PO1＝ 2 2 ，OO1＝ 2 2 －R， 在 Rt△AOO1 中， 2 2 －R 2 ＋ 2 2 2 ＝R2，解得 R＝ 2 2 ，V 球＝4 3 πR3＝4 3 π 2 2 3 ＝ 2π 3 . 10．A 【解析】设直线 l：2x＋y－4＝0.因为|OC|＝1 2|AB|＝d1，其中 d1 为点 C 到直线 l 的距离，所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆 C 半径最小值为 1 2d2＝1 2 × 4 5 ＝ 2 5 ，其中 d2 为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 面积的最小值为π 2 5 2 ＝4π 5 .故选 A. 11．B 【解析】因为 F(x)＝f(x)－x－1，且函数 F(x)有 2 个零点，即 f(x)－x－1＝0 有 2 个实数根，所以当 x≤0 时，令 ex－x－1＝0，解得 x＝0，此时只有一个实数根，当 x＞0 时， 令 f(x)－x－1＝0，即 x2＋(a－1)x＝0，即 x[x－(1－a)]＝0，此时解得 x＝1－a，要使得函数 F(x) 有 2 个零点，则 1－a＞0，所以 a＜1，故选 B. 12．D 【解析】当 x∈Z 时，[x)＝x＋1，f(x)＝[x)－x＝x＋1－x＝1；当 xZ 时，令 x＝n ＋a，n∈Z，a∈(0，1)，则[x)＝n＋1，f(x)＝[x)－x＝1－a∈(0，1)，因此 f(x)＝[x)－x 的值域是 (0，1]；0.9，1，1.1 是等差数列，但[0.9)＝1，[1)＝2，[1.1)＝2 不成等差数列；0.5，1，2 是 等比数列，但[0.5)＝1，[1)＝2，[2)＝3 不成等比数列；由前分析可得当 x∈Z 时，f(x)＝1；当 xZ，x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)时，f(x)＝1－a＝1－(x－n)＝n＋1－x，所以 f(x＋1)＝f(x)， 即 f(x)＝[x)－x 是周期为 1 的函数，由于 x∈(1，2)时 f(x)＝2－x＝1 2 ，x＝3 2 ，即一个周期内有一 个根，所以若 x∈(1，2 018)，则方程[x)－x＝1 2 有 2 017 个根．①④正确，故选 D. 二、填空题 13.3 5 【解析】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学 参加体能测试的概率为C13C12 C25 ＝3 5. 14．3 【解析】圆柱体体积公式 V＝πr2h，而由题意有 V＝ 1 12 ×(2πr)2×h，所以π＝3. 15．30 【解析】因为 1＋1 x2 (1＋x)6＝1·(1＋x)6＋ 1 x2 ·(1＋x)6，则(1＋x)6 展开式中含 x2 的项为 1·C26x2＝15x2，1 x2 ·(1＋x)6 展开式中含 x2 的项为 1 x2 ·C46x4＝15x2，故 x2 的系数为 15＋15 ＝30. 16．5 【解析】令正三角形边长为 3，则OB→ ＝(1，0)，OA→ ＝ －3 2 ， 3 2 ，设直线 AB 与 OC 的交点为点 D，若OD→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，则 x＋y＝1.又由线性规划知识知当 P 在 C 点时，x＋y 有最大值，此时OP→ ＝5OD→ ，故 x＋y 的最大值是 5. 三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π 3 ， 0≤α≤π 3 ，故 2cos α－cos β＝2cos α－cos α＋π 3 ＝ 3sin α＋π 3 ， 故当α＝π 6 ，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 3.5 分 (2)由 cos β＝1 7 ，得 sin β＝4 3 7 ， 故 sin α＝sin β－π 3 ＝sin βcos π 3 －cos βsin π 3 ＝3 3 14 ，7 分 由正弦定理 AB sin∠ADB ＝ BD sin∠BAD ， 故 AB＝sin β sin αBD＝ 4 3 7 3 3 14 ×1＝8 3 ，9 分 故 S△ABD＝1 2AB·BD·sin B＝1 2 ×8 3 ×1× 3 2 ＝2 3 3 .11 分 18．【解析】(1)依题意，a3＋a4＋a5＝ 7 16 ，6a5＝a3＋a4，则 a5＝ 1 16 ，a3＋a4＝3 8 ，得a5 q2 ＋a5 q ＝ 3 8 ， 即 6q2－q－1＝0，解得 q＝1 2 或 q＝－1 3(舍)，所以 q＝1 2 ，a1＝1， ∴数列{an}的通项公式为 an＝ 1 2 n－1 .5 分 (2) 设 cn ＝ (bn ＋ 1 － bn)·an ， 数 列 {cn} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 则 Sn ＝ 2n2 ＋ n ， 所 以 cn ＝ S1 （n＝1） Sn－Sn－1 （n≥2） ， 解得 cn＝4n－1.7 分 所以 bn＋1－bn＝(4n－1)·2n－1，故 bn－bn－1＝(4n－5)·2n－2，n≥2， bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1) ＝(4n－5)·2n－2＋(4n－9)·2n－3＋…＋7·21＋3，9 分 设 Tn＝3＋7·21＋…＋(4n－9)·2n－3＋(4n－5)·2n－2， 2Tn＝3·2＋7·22＋…＋(4n－9)·2n－2＋(4n－5)·2n－1， 所以，－Tn＝3＋4·21＋…＋4·2n－3＋4·2n－2－(4n－5)·2n－1， 因此 Tn＝(4n－9)·2n－1＋5，n≥2，又 b1＝1， 所以 bn＝(4n－9)·2n－1＋6.11 分 19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形， 俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1 两两垂直．且 BC＝4，BA＝4，BB1＝8，AN＝4， 以 BA，BB1，BC 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图 则 N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4)，C(0，0，4)，∴M(2，0，0)．∵BP PC ＝1 3 ，∴P(0，0，1)，则MP→ ＝(－2，0，1)，设 n2＝(x，y，z)为平面 NCB1 的一个法向 量， 则 n2·CN→ ＝0 n2·NB1 → ＝0  （x，y，z）·（4，4，－4）＝0 （x，y，z）·（－4，4，0）＝0  x＋y－z＝0， －x＋y＝0， 取 n2＝(1，1，2)，∴MP→ ·n2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又 PM平面 CNB1，∴MP∥平 面 CNB16 分 (2)由(1)可知平面ΒCΒ1 的一个法向量为BA→＝(4，0，0)，平面 CΒ1Ν的法向量为 n2＝(1，1， 2)， 则 cos θ＝| BA→·n2 |BA→ ||n2||＝（4，0，0）·（1，1，2） 4× 6 ＝ 6 6 ，∴sin θ＝ 30 6 .12 分 【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分． 20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是 1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互 独立的． 所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是 P1＝C25×(1－0.5)2×0.53＝ 5 16.4 分 (2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布 B(5，0.5)．从而ξ的数学期望是 Eξ＝5×0.5＝2.5，即平均有 2.5 家餐饮店必须整改.8 分 (3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐 饮店被关闭的概率是 P2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是 0.9.由题 意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是 P3＝1－0.95≈ 0.41.12 分 21．【解析】(1)由 e＝ 2 2 ，可设椭圆 C 的方程为x2 a2 ＋2y2 a2 ＝1， 点 P 2 2 ， 3 2 满足|PF1|＋|PF2|＝2a，等价于点 P 在椭圆上，∴ 1 2a2 ＋ 3 2a2 ＝1，∴a2＝2， 所以椭圆 C 的方程为x2 2 ＋y2＝1.5 分 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组 y＝kx＋m， x2＋2y2－2＝0， 消去 y 并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 则 Δ>01＋2k2>m2 x1＋x2＝－4km 1＋2k2 x1x2＝2m2－2 1＋2k2 ①.7 分 设△AOB 的重心为 G(x，y)，由F1G→ ·F2G→ ＝－5 9 ，可得 x2＋y2＝4 9.② 由重心公式可得 G x1＋x2 3 ，y1＋y2 3 ，代入②式， 整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得 m2＝（1＋2k2）2 1＋4k2 ，10 分则 m2＝（1＋2k2）2 1＋4k2 ＝1＋ 4k4 1＋4k2 ＝1＋ 4 4 k2 ＋1 k4 .又由Δ>0 可知 k≠0，令 t＝1 k2>0，∴t2＋4t>0， ∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12 分 22．【解析】(1)解法 1：f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝2x2＋2ax＋1 x＋a 方程 2x2＋2ax＋1＝0 的判别式Δ＝4a2－8. (ⅰ)若Δ0，所以 f(x)单 调递增． 若 a＝－ 2，x∈( 2，＋∞)，f′(x)＝（ 2x－1）2 x－ 2 >0，f(x)单调递增． (ⅲ)若Δ>0，即 a> 2或 a0， 所以 f′(x)2a2－2a2＋1＝1，所以当 a≤0 时 2x2＋2ax＋1≥0 恒成立； (ⅱ)当 a>0 时，－a－ －a 2 ＝－a 20，所以 g(x)≥g(x0)>0. 综上，当 a≤2 时，g(x)>0.12 分