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19届高三上期入学摸底测试
文科数学试题
注意事项：1.考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
附参考数据与参考公式：
―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知全集U = R，集合 A = {}，B= {}，则ð
A.{} B. {}
C.{} D.{}
2.欧拉公式 (i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”。根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.己知向量，条件 //，条件，则 是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的一个对称中心是
A. B. C. D.
5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七 两；石方一寸，重六两。今有石方三寸，中有玉，并 重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？ ”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现 有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和 石料各多少两？ ”如图所示的程序框图给出了对此题 的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x， 分别为
A. 90，86 B. 94，82
C. 98， 78 D. 102， 74
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. B.
C. D.
7.已知a > 0，满足约束条件，若的最小值为，则
A. B. C.1 D. 2 ( )
8.函数的图象可能是
9.设> 0 ,函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则
A. B. C. D.
10.函数与其导函数的图象如图，则满足 0且a≠1)的图象上，则与的大小关系为
A. B.
C. D. 与的大小与有关
12.点P为双曲线的右支上一点，M,N分别是圆和圆上的点，则的最大值为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ ”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则 ，当时， .
14.设正三棱锥P - ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径R，H=7 R，则 .
15.抛物线的焦点为F，点A(6,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为 .
16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且，则 △ABC 面积的最大值为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(―)必考题：共60分
17. (12分）已知等差数列{}中，，公差；数列{}中，为其前项和，满足 .
（1）记，求数列{}的前项和；
（2）求数列{}的通项公式。
18. (12分）2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：
约定：此单位45岁〜59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众。
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事。完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
19. (12分）如图，在三棱锥P - ABC中，AB = BC = , PA = PB = PC = AC = 4，O为AC的中点。
（1）证明：PO丄平面ABC ；
（2）若点M在棱BC上，且MC = 2MB，
求点C到平面POM的距离。
20. (12分)设椭圆C: 的右焦点为F，过F的直线与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0)。
（1）当与轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，求的值.
21. (12分）设函数 .
（1）讨论单调性；
（2）设，当时，，求的取值范围。
(二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [4-4:坐标系与参数方程](10分）
以平面直角坐标系的原点0为极点，，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，-5)，点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。
（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线与圆C的位置关系。
23.[选修4-5:不等式选讲](10分）
已知函数 .
（1）当时，若的最小值为3 ，求实数的值；
（2）当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围.
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