www.ks5u.com
湖北省部分重点中学2018—2019学年度上学期新高三起点考试
数学（理科）试卷
命题人:武汉开发区一中 程旺才 审题人：颜昌平
一、选择题（本题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）＜＞
1.已知集合M={}，N ={}，则
A. {} B. {}
C. D.
2.已知复数满足，则
A.1 B. C. D.
3. 设等差数列{}前项的和为，若，则
A. -32 B. 12 C. 16 D. 32
4. 已知命题P：，那么命题为
A. B.
C. D.
5.已知函数，若，则
A. 1 B.-1 C. 3 D.-3
6.执行程序框图，假如输入两个数是S=1、k=2,那么输出的S=
A. B. C.4 D.
7.有四位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为
A. B. C. D.
8.已知函数>0，），其图
象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数的图象
A.关于点对称 B. 关于点对称
C.关于直线对称 D. 关于直线对称
9.已知满足，若的最大值为2，则的值为 .
10. 已知两点A(a, 0), B (-a，0) (a>0),若圆上存在点P，使得，则正实数的取值范围为
A. (0,3] B. [1，3] C. [2,3] D. [1,2]
11.已知A，B，C是双曲线（a>b>0)上的三个点，AB经过原点0，AC经过右焦点F，若BF丄AC且 2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
12. 已知函数,若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是
A. (-∞, 2)U(2, +∞) B. (，+∞) C.( ，1) D. (1，e)
二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分。
13. 的展开式中项的系数为 .
14.函数的最小正周期为 .
15.如图所示，圆O及其内接正八边形。已知,点P为正八边形边上任意一点，，则的最大值为 .
16. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 .
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
(一)必考题：共60分。
己知数列{}的前项和为，,且满足.
（1）求数列{}的通项：
（2）求数列{}的前项和为.
18.(本小题满分12分）
如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA = DP，
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若DA丄DP，∠ABP = 60°，BA=BP=2,
求二面角D—PC一B的正弦值
19.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+x的值评定学生的数学核心素养，若,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若,则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及其数学期望。
20.已知A，B，C为椭圆E: 上三个不同的点，0为坐标原点，若O为△ABC的重心。
(1)如果直线AB、0C的斜率都存在，求证为定值；
(2)试判断△ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由。
21.设函数,其中 , e=2.718…为自然对数的底数.
(I)讨论的单调性；
(II)证明：当x>l时，>0；
(Ⅲ)如果>在区间（1，+∞)内恒成立，求实数a的取值范围.
(二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4一4:坐标系与参数方程](10分）
已知在平面直角坐标系: 中，直线的参数方程是 是参数），以原点0为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
(I)求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设M (x,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围。
23.[选修4-5:不等式选讲](10分〉
己知函数.
(I)若a=2,求不等式 >x+2的解集：
(II)如果关于的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围。
湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试
理科数学参考答案
ABDCDCDB BBBC
13.4014.15．16．
17．解：（1）；
当时，，当时，
，
不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；
所以.………………6分
（2）当时，，
当时，，
，
时也满足，综上………………12分
18．解：（1）证明：取中点，连，
∵，
∴，，∵
∴面，又∵面，∴………………4分
（2）∵，，，
∴是等腰三角形，是等边三角形，∵，∴，.
∴，∴
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，………………6分
则，，，
从而得，，，
设平面的法向量
则，即，∴，
设平面的法向量，
由，得，∴
∴
设二面角为，∴………………12分
19．解：
x
2
3
3
1
2
2
2
2
2
2
y
2
2
3
2
3
3
2
3
1
2
z
3
3
3
2
2
3
2
3
1
2
w
7
8
9
5
7
8
6
8
4
6
（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.
则………………6分
(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人
的所有可能取值为0,1，2，3.
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
………………10分
………………12分
20．
解：（1）设直线，代入得：
设，
则；
由得：
线段中点,因为为的重心，
所以为定值.………………6分
点差法求证相应给分.
（2）设，则
代入得，又，
原点到的距离
于是
所以（定值）.………………12分
21．解：（Ⅰ）………………1分
微信/支付宝扫码支付