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(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD＝120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是 ( )
A.25 B.20
C.15 D.10
2.四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件中能判定此四边形是正方形的是 ( )
①AC＝BD,AB∥CD,AB＝CD;②AD∥BC,∠BAD＝∠BCD;③AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC;④AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.RtΔABC中,CD是斜边AB上的高,∠A＝25°,则∠BCD度数为 ( )
A.25° B.65° C.15° D.35°
4.如图所示,菱形ABCD中,AB＝2,∠A＝120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK＋QK的最小值为 ( )
A.1 B.3 C.2 D.3＋1
5.(黄石中考)如图所示,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1＋∠2的度数是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
6.(南昌中考)如图(1)所示,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“图案”,如图(2)所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图(3)所示,则新矩形的周长可表示为 ( )
A.2a-3b B.4a-8b
C.2a-4b D.4a-10b
7.(丽水中考)如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
8.(上海中考)如图所示,已知AC,BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是 ( )
A.ΔABD与ΔABC的周长相等
B.ΔABD与ΔABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
9.(聊城中考)如图所示,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF＝AE＋FC,则BC的长为 ( )
A.23 B.33 C.63 D.923
10.(德州中考)如图所示,在一张矩形纸片ABCD中,AB＝4,BC＝8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②CE平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF＝25.
以上结论中,你认为正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE＝4,BF＝3,则EF的长为 .
12.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,若AB＝2,AD＝4,则图中阴影部分的面积为 .
13.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC＝8,BD＝6,则四边形EFGH的面积为 .
14.(天门中考)将相同的矩形卡片按如图所示的方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,以此类推,摆放2014个时,实线部分长为 .
…
15.(大连中考)如图所示,菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠BCO＝55°,则∠ADO＝ °.
16.(十堰中考)如图所示,在ΔABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE＝DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 (只填写序号).
三、解答题(共66分)
17.(6分)如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC.
18.(6分)如图所示,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.
19.(8分)如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.
(1)求证ΔBEC≌ΔDFA;
(2)求证四边形AECF是平行四边形.
20.(8分)如图所示,在平行四边形ABCD中,以AC为斜边作RtΔAEC,使∠BED＝90°,则四边形ABCD是矩形.试说明理由.
21.(9分)如图所示,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB＝30°,AB＝2.
(1)求AC的长;
(2)求∠AOB的度数;
(3)以OB,OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.
22.(9分)(贵阳中考)如图所示,在RtΔABC中,∠ACB＝90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE,连接AF,CD.
(1)求证四边形ADCF是菱形;
(2)若BC＝8,AC＝6,求四边形ABCF的周长.
23.(9分)如图所示,在RtΔABC中,∠ACB＝90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证CE＝AD;
(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊的四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
24.(11分)(临沂中考)问题情境:
如图(1)所示,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
探究展示:
(1)求证AM＝AD＋MC;
(2)AM＝DE＋BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
拓展延伸:
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图(2)所示,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.
【答案与解析】
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C(解析:由题意得剩下的三角形是直角三角形,所以∠1＋∠2＝90°.故选C.)
6.B(解析:每个小矩形的长为(a-b),宽为12(a-3b),则拼成的新矩形的周长为2[(a-b)＋(a-3b)],化简得4a-8b.故选B.)
7.B(解析:由题意知AC＝BC＝BD＝AD,则四边形ADBC为菱形.故选B.)
8.B(解析:根据菱形的性质,知ΔABD与ΔABC中有边AB＝AB,AD＝BC,很明显AC与BD不一定相等,所以选项A错误;根据平行线的性质:平行线之间的距离处处相等,所以ΔABD与ΔABC为同底等高的两个三角形,所以它们的面积相等,所以选项B正确;选项C,D都是错误的.故选B.)
9.B(解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC,∵四边形BEDF是菱形,∴DE＝BF.∴AE＝CF.∵EF＝AE＋FC,∴AE＝OE.∴RtΔAEB≌RtΔOEB.∴AB＝OB＝3.∴BD＝6.∴AD＝BC＝62-32＝33.故选B.)
10.C(解析:∵FH与CG,EH与CF均为矩形ABCD中对边AD,BC上一部分,∴FH∥CG,EH∥CF,∴四边形CEHF是平行四边形,又由翻折的性质可得CF＝FH,∴平行四边形CEHF是菱形,故①正确;由四边形CEHF是菱形,可知∠HCF＝∠HCE,若CE平分∠DCH,只有∠DCE＝30°,故②错误;当H与A重合时,设BF＝x,则AF＝FC＝8-x,在RtΔABF中,AB2＋BF2＝AF2,即42＋x2＝(8-x)2,解得x＝3,得到BF的最小值为3,当点G与点D重合时,CF＝CD＝4,∴BF＝BC-CF＝4,得到BF的最大值为4,∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确;
如图所示,过点F作FM⊥AD于M,由③可知BF＝HM＝3,∴BC-BF＝5,∵四边形CEHF是菱形,∴EH＝CF＝5,∴EM＝EH-HM＝2,∵在RtΔEMF中,MF＝AB＝4,∴EF＝EM2＋FM2＝25,故④正确.故选C.)
11.7(解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠BAD＝90°,∴∠BAF＋∠DAE＝90°.∵BF⊥AF,DE⊥AE,∴∠AFB＝∠DEA＝90°,∠BAF＋∠ABF＝90°,∴∠ABF＝∠DAE.在ΔAFB和ΔDEA中,∠ABF＝∠DAE,∠AFB＝∠AED,AB＝AD,∴ΔAFB≌ΔDEA,∴AF＝DE＝4,AE＝BF＝3,∴EF＝AF＋AE＝4＋3＝7.)
12.4
13.12
14.5035 (解析:第一个图形实线部分长为1＋2＝3;第二个图形实线部分长为1＋2＋2＝5;第三个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＝8;第四个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＝10;第五个图形实线部分长为1＋2＋2
＋3＋2＋3＝13;第六个图形实线部分长为1＋2＋2＋3＋2＋3＋2＝15;….可以发现变化规律为:第偶数个图形的实线部分长比前一奇数个图形的多2,后一奇数个图形的实线部分长比前一偶数个图形的多3.综合分析可以发现:当矩形纸片n为偶数时,实线部分的长为5×n2,因此摆放2014个矩形时,实线部分长为5035.故填5035.)
15.35 (解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AD∥BC.∴∠BOC＝90°,∠CBO＝∠ADO.∵∠BCO＝55°,∴∠CBO＝90°-55°＝35°.∴∠ADO＝35°.)
16.③ (解析:需添加条件③.理由:∵点D是BC的中点,∴BD＝DC,又∵DE＝DF,∴四边形BECF为平行四边形,∵AB＝AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴平行四边形BECF为菱形.故填③.)
17.证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.∵四边形ABCD是菱形,∴CD＝BC.∴OE＝BC.
18.证明:连接MC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝CD,∠ADM＝∠CDM,又∵DM＝DM,∴ΔADM≌ΔCDM,∴AM＝CM.∵ME∥CD,MF∥BC,∴四边形CEMF是平行四边形,又∵∠ECF＝90°,∴▱CEMF是矩形,∴EF＝MC,又∵AM＝CM,∴AM＝EF.
19.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD,AD＝BC,又∵E,F分别是边AB,CD的中点,∴BE＝DF,∵在ΔBEC和ΔDFA中,BC＝DA,∠B＝∠D,BE＝DF,∴ΔBEC≌ΔDFA(SAS). (2)由(1)得:CE＝AF,AE＝CF.故可得四边形AECF是平行四边形.
20.解:连接OE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分.又因为ΔBED,ΔAEC是直角三角形,且BD,AC是斜边,所以OE＝12BD,OE＝12AC.所以AC＝BD.所以平行四边形ABCD是矩形.
21.解:(1)在矩形ABCD中,∠ABC＝90°,因为在RtΔABC中,∠ACB＝30°,所以AC＝2AB＝4.(2)由(1)知在矩形ABCD中,AO＝BO＝2.又因为AB＝2,所以ΔAOB是等边三角形,所以∠AOB＝60°. (3)由勾股定理,得BC＝42-22＝23,SΔABC＝12×2×23＝23.所以SΔBOC＝12SΔABC＝3,所以菱形OBEC的面积是23.
22.(1)证明:∵ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE,∴AE＝CE,DE＝EF,即AC与DF互相平分,∴四边形ADCF是平行四边形.∵D,E分别为AB,AC边上的中点,∴DE∥BC.∵∠ACB＝90°,∴∠AED＝90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形. (2)解:在RtΔABC中,BC＝8,AC＝6,∴AB＝BC2＋AC2＝82＋62＝10,又∵点D是AB边上的中点,∴AD＝12AB＝5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF＝FC＝AD＝5,∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝10＋8＋5＋5＝28.
23.(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠DFB,∴AC∥DE.∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE＝AD. (2)解:四边形BECD是菱形.理由:∵D为AB中点,∴AD＝BD.由(1)知CE＝AD,∴BD＝CE.又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ACB＝90°,D为AB中点,∴CD＝BD,∴四边形BECD是菱形. (3)解:当∠A＝45°时,四边形BECD是正方形,理由:∵∠ACB＝90°,∠A＝45°,∴∠ABC＝∠A＝
45°,∴AC＝BC.又∵D为AB中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB＝90°,由(2)知四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形.
24.(1)证明:延长AE,BC交于点N,如图(1)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE＝∠MAE.∴∠ENC＝∠MAE.∴MA＝MN.在ΔADE和ΔNCE中,∠DAE＝∠CNE,∠AED＝∠NEC,DE＝CE,∴ΔADE≌ΔNCE(AAS).∴AD＝NC.∴MA＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC. (2)解:AM＝DE＋BM成立.证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图(2)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°,AB＝AD,AB∥DC.∵AF⊥AE,∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°-∠BAE＝∠DAE.在ΔABF和ΔADE中,∠FAB＝∠EAD,AB＝AD,∠ABF＝∠D＝90°,∴ΔABF≌ΔADE(ASA).∴BF＝DE,∠F＝∠AED.∵AB∥DC,∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM,∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM. (3)解:(1)成立;(2)不成立.
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