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[A 基础达标]
1．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．与增加的长度有关
解析：选A.在△ABC中，a2＝b2＋c2，设三边增加相同长度m后，新三角形为△A′B′C′，根据余弦定理得cos A′ ＝＝>0，而角A′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.
2．在△ABC中，A＝120°，a＝，S△ABC＝，则b等于( )
A．1 B．4
C．1或4 D．5
解析：选C.S△ABC＝bcsin A＝bc＝，故bc＝4，①
又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝21，②
解①②组成的方程组，可得b＝1或b＝4，选C.
3．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝10，
所以bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边长为7.
4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选B.因为S＝bcsin A，
所以＝×2csin 120°，所以c＝2，
所以a＝＝
＝2，
设△ABC外接圆的半径为R，
所以2R＝＝＝4，所以R＝2.
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5．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c，a2b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.
6．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得c2＋5c－24＝0，解得c＝3.
所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.
答案：
7．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________．
解析：由A作垂线AH⊥BC于H.
因为S△ADC＝DA·DC·sin 60°
＝×2×DC×
＝3－.
所以DC＝2(－1)，又因为AH⊥BC，
∠ADH＝60°，
所以DH＝ADcos 60°＝1，
所以HC＝2(－1)－DH＝2－3.
又BD＝CD，
所以BD＝－1，
所以BH＝BD＋DH＝.
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又AH＝ADsin 60°＝，
所以在Rt△ABH中AH＝BH，
所以∠BAH＝45°.
又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，
所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，
故所求角为60°.
答案：60°
8．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．
解析：在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，
∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.
根据余弦定理得，
AC＝
＝
＝3.
S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD
＝6×3sin 60°＝9.
答案：3 9
9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．
解：连接AC，在△ACD中，
由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D
＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，
在△ABC中，
由AB＝2，BC＝4，
AC2＝28，
可得cos B
＝
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＝＝－.
又0°
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