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1．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，则A等于( )
A．30° B．60°
C．60°或120° D．30°或150°
解析：选C.由正弦定理得：sin A＝＝，
因为a>b，所以A＝60°或A＝120°，故选C.
2．在△ABC中，若lg sin A－lg sin C＝lg sin B＝－lg，且B∈，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
解析：选C.由lg sin A－lg sin C＝lg sin B＝－lg可得lg＝lg sin B＝lg，所以＝＝sin B，又B∈，所以B＝，c＝a.由余弦定理可知b2＝a2＋2a2－2a×a×，整理可得b＝a，因此△ABC为等腰直角三角形．
3．为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赶赴钓鱼岛海域执法巡航．当我船航行到A处时测得钓鱼岛在我船北偏东45°方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15°方向上，则此时B处到钓鱼岛的距离为( )
A．20海里 B．10海里
C．20 海里 D．20 海里
解析：选C.设钓鱼岛在C处，则在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理得：BC＝＝＝20，故选C.
4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．
解析：由正弦定理得＝，
由余弦定理得cos A＝，
因为 a＝4，b＝5，c＝6，所以 ＝＝2··cos A＝2××＝1.
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答案：1
5.如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是3，正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则正三角形的边长是________．
解析：如图，过点C作l1的垂线，交直线l1于点H，交直线l2于点M.设∠ACH＝θ，则∠BCH＝60°－θ.
在Rt△ACH中，CH＝4，
故AC＝＝；
在Rt△BCM中，CM＝3，
故BC＝＝.
所以＝，
解得sin θ＝cos θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，代入求得cos θ＝，
故AC＝＝.
答案：
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积S△ABC.
解：(1)由正弦定理可设＝＝＝＝＝，所以a＝sin A，b＝sin B，
所以＝＝.
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)，所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.
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