4 解直角三角形
知识点 1 已知两边求其他元素
图1－4－1
1．如图1－4－1，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则∠B的度数为( )
A．25° B．30°
C．45° D．60°
2．菱形ABCD的对角线AC＝6 ，BD＝6，则菱形的四个角的度数分别是______________．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝5 ，求这个直角三角形的其他元素．
知识点 2 已知一边、一角求其他元素
4．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC的长为( )
A．3sin40° B．3sin50°
C．3tan40° D．3tan50°
5．[2017·抚顺模拟] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC等于( )
A. B．1 C．2 D．3
图1－4－2
6．如图1－4－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为________．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝45°，则a＝________，b＝________，∠B＝________°.(a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边)
8．已知Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图1－4－3所示，求A，C两点的坐标．
图1－4－3
9．等腰三角形的腰长为2 ，底边长为6，则底角等于()
A．30° B．45° C．60° D．120°
图1－4－4
10．如图1－4－4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
11．如图1－4－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，
则AB的长为________．
图1－4－5 图1－4－6
12．如图1－4－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝4 ，则AD＝________．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝2 ，b＝2 ，小王得到下面四个结论：①c＝4 ；②tanA＝；③sinA＋cosB＝1；④∠B＝30°.其中正确的结论是________．(只填序号)
14．如图1－4－7，河流两岸a，b互相平行，A，B是河岸a上的两座建筑物，C，D是河岸b上的两点，A，B之间的距离为200 m．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度为________m.
图1－4－7
15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA＝__________．
16．如图1－4－8，一块四边形土地，其中∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝30 m，CD＝50 m，求这块土地的面积．
图1－4－8
17．如图1－4－9，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．
图1－4－9
18．一副三角板如图1－4－10放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，试求CD的长．
图1－4－10
19．如图1－4－11所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．(精确到1 mm)(参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75)
图1－4－11
图1－4－12
20．如图1－4－12，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动．如果PQ＝，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．
1．B 2.60°，120°，60°，120°
3．解：∵sinA＝＝＝，∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°，
∴∠B＝∠A，∴b＝a＝5.
4．D [解析] ∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，
又∵tanB＝，∴AC＝BC·tanB＝3tan50°.故选D.
5．B 6.4 7.5 5 45
8．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC＝＝＝4，
∴点C的坐标为(4，0)．
在Rt△ABD中，sin30°＝，cos30°＝，而AO＝2 ，
∴AD＝AOsin30°＝2 ×＝，
BD＝AOcos30°＝2 ×＝3，
∴点A的坐标为(3，)．
9．A
10．A [解析] ∵∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴BD＝AD，∴CD＋BD＝8 cm.
∵cos∠BDC＝＝，∴＝，
解得CD＝3(cm)，∴BD＝5 cm，
∴BC＝4 cm.故选A.
11．3＋ [解析] 过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD.
∵∠A＝30°，AC＝2 ，∴CD＝，
∴BD＝CD＝.
由勾股定理得AD＝＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋.
12．[解析] 在Rt△ABC中，sinB＝，AC＝AB·sinB＝4 ×＝2 .
在Rt△ACD中，∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，
cos∠DAC＝，AD＝＝＝4.
13．①②③ [解析] 由勾股定理易求c＝4 ，①正确；tanA＝＝＝，②正确；sinA＋cosB＝＋＝＋＝＋＝1，③正确；tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，④错误．
14．100 [解析] 过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠APC＝75°，∠BPD＝30°，∴∠APB＝75°.
∵∠BAP＝∠APC＝75°，∴∠APB＝∠BAP，
∴AB＝PB＝200 m.
∵∠ABP＝30°，∴PE＝PB＝100 m.
15.或 [解析] 分两种情况：
(1)如图①，BD是AC边上的中线，BD＝AC.
设AD＝DC＝k，则BD＝AC＝2k.
在Rt△BCD中，∵∠C＝90°，
∴BC＝＝k，
∴tanA＝＝＝；
(2)如图②，AD是BC边上的中线，AD＝BC.
设BD＝DC＝k，则AD＝BC＝2k.
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，
∴AC＝＝k，
∴tanB＝＝＝.
∵∠CAB＋∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝＝＝.
综上可知，所求值为或.
故答案为或.
16．
解：延长CA，DB交于点P，
∵∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠ABP＝60°，∠ACD＝60°.
在Rt△CDP中，tan∠ACD＝，PD＝CD·tan∠ACD＝50 ·tan60°＝150(m)．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝，PA＝AB·tan∠PBA＝30 ·tan60°＝90(m)，
∴S四边形土地＝S△CDP－S△ABP＝×50 ×150－×30 ×90＝2400 (m2)．
即这块土地的面积为2400 m2.
17．解：如图，过点B作BE⊥MC，垂足为E，
在Rt△ABC中，BC＝＝
＝5，
sin∠BAC＝＝.
在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCE＝BC·sin∠BAC，
∴BE＝5×＝，
即点B到直线MC的距离是.
18．过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 ，
∴BC＝AC＝12 .
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝45°，
∴BM＝BC×sin45°＝12 ×＝12，
CM＝BM＝12.
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝＝4 ，
∴CD＝CM－MD＝12－4 .
19．解：如图，过点B作BE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F.
∵∠α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠α＝36°.
根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm.
在Rt△ABE中，sinα＝，
∴AB＝≈＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，
∴AD＝≈＝60(mm)．
∴长方形卡片的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．
20．4 [解析] 在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝＝.
(1)当点P从O→B时，如图①、图②所示，点Q运动的路程为；
(2)当点P从B→C时，如图③所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ＝90°.
∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝30°，∴cos30°＝，∴AQ＝＝2，
∴OQ＝2－1＝1.则点Q运动的路程为QO＝1；
(3)当点P从C→A时，如图③所示，点Q运动的路程为QQ′＝2－.
(4)当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1.
∴点Q运动的总路程为＋1＋2－＋1＝4.
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