河北武邑中学2018—2019学年上学期高三开学摸底考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集，集合，集合，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先确定集合A和集合B，然后进行集合的混合运算整理计算即可求得最终结果.
【详解】求解二次不等式可得，则，
则
由补集的定义可知：.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交并补运算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 欧拉公式 (i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的
地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论.
详解：由欧拉公式，可得，
因为，
所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.
点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果.
3. 对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（ ）
..............................
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
分析：先化简，再运行程序得解.
详解：=
因为4＞（-2），所以输出
故答案为：D
点睛：(1)本题主要考查程序框图、指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的运算能力.(2) 对数恒等式：(,且, ), ,.
4. 2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】设四只小鼠为：，
由组合数公式可知，四只小鼠中不放回地拿出2只，共有种方法，
其中满足题意的方法为：，，，四种方法，
结合古典概型计算公式可得，满足题意的概率值为：.
本题选择C选项.
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. -160 B. 320 C. 480 D. 640
【答案】B
【解析】
，展开通项，
所以时，；时，，
所以的系数为，故选B。
点睛：本题考查二项式定理。本题中，首先将式子展开得，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的的系数。
6. 某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图首先确定几何体的空间结构，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由三视图可知该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组成的组合体，
其中棱锥的底面半径，高，其体积，
四棱锥底面是一个边长为2的正方形，高，其体积，
则组合体的体积.
本题选择A选项.
【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
7. 的展开式中的常数项是（ ）
A. -5 B. 7 C. -11 D. 13
【答案】C
【解析】
的展开式的通项公式是 其中含的项是 常数项为 故的展开式中的常数项是
故选C.
8. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.
由题意知.
所以，解得.
故选A.
9. 已知向量满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合向量的运算法则和向量的模将问题转化为几何问题，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】当时满足题意，此时，
否则，若向量都是非零向量，由可知：
以为邻边的长方形满足题意，两边之和大于第三边，则，
结合勾股定理有：，
由均值不等式的结论可知，算数平均数不超过平方平均数，即：
，则，
当且仅当时等号成立.
综上可得，的取值范围是.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查数量积的运算法则及其应用，均值不等式求最值的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，
正方体的棱长为，为棱的中点，最大的侧面积为，故选C．
11. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果.
【详解】设是圆的切线，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为
， ①
又 ， ②
①-②得，
化为，
由，
可得总满足直线方程，
即过定点，故选B.
【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有
成立，且是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合所给的函数特征构造新函数，结合新构造函数的性质整理计算即可求得最终结果.
【详解】构造函数，令，则，
由题意可知，恒成立，则函数在定义域内单调递增，
函数是奇函数，则函数过坐标原点，即，
据此可知：，
而不等式可变形为，即，
结合函数的单调性可知不等式的解集为.
本题选择D选项.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知实数，满足约束条件，则的最大值____．
【答案】2.
【解析】
根据不等式组画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数，可化为 当目标函数过点时函数有最大值，代入得到2.
故答案为：2.
点睛：利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。
14. 如图，在平面直角坐标系中， 函数 ，的图像与轴的交点，，满足，则________．
【答案】.
【解析】
不妨设，，，得，由，得，解得.
15. 已知三棱锥的外接球的球心为，平面 ，则球心O到平面PBC的距离为_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
首先将结合体补形为长方体，然后建立空间直角坐标系，利用点面距离公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可知，三棱锥位于如图所示的长方体中，其中长方体的长宽高分别为，
其外接球球心为的中点，以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，则，，
设平面的法向量为，则，
据此可得平面的一个法向量为，
且，，由中点坐标公式可得：，则，
结合点面距离公式可得，球心O到平面PBC的距离为.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
16. 已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则 的最大值的取值范围为__
【答案】(12,24].
【解析】
由的三边分别为，，可得：
，
可知：
，
，
，
可知
可知当时，
则的最大值的取值范围为
点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知
．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）先根据三角形内角关系以及诱导公式化简条件得，即得，，（2）根据余弦定理得，再根据化一元函数，最后根据二次函数性质求值域得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，
即有
因为，∴．又，∴．
又，∴，∴
（Ⅱ）由余弦定理，有．
因为，有
又，于是有，即有
18. 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格的人数；
（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?
（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；（Ⅱ）由频率分布直方图求矩形的面积，转化求解抽取人数即可；（Ⅲ）先求出的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知之间的频率为:，
∴获得参赛资格的人数为
（Ⅱ）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人
分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2.
（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，则
故的分布列为：
0
1
2
∴
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
19. 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直，平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值。.
解析：
（1）在直三棱柱中
又
平面，平面，
∴平面
又∵平面
∴平面平面.
（2）由（1）可知
以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系.设
，，，，，，，
直线的方向向量，平面的法向量
可知∴
，，
设平面的法向量
∴∴
设平面的法向量
∴∴
记二面角的平面角为
∴
二面角的平面角的正弦值为.
20. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，交轴于点.
（1）判断的形状；
（2） 若两点在抛物线上，点满足，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆与抛物线在点处的有相同的切线，求点的坐标.
【答案】(1) 为等腰三角形.
(2) 点的坐标为.
【解析】
【分析】
（1）设，则切线方程为，由两点之间距离公式和抛物线的定义计算可得,则为等腰三角形.
（2）设，易知，由点B在抛物线上可得或，联立方程可得圆心，据此得到关于的方程，解方程可得.则点的坐标为.
【详解】（1）设，
则切线的方程为，即，
∴，∵，∴,
所以为等腰三角形
（2）设，∵，∴是的中点，∴
∵在抛物线上∴，∴或
∴两点的坐标为，设，
则切线方程为， ①
AB的垂直平分线方程为， ②
由①②得圆心，
由，得，∴或,
.
∴点的坐标为.
【点睛】本题主要考查抛物线方程与圆是方程，导数研究切线方程，数学中的方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21. 已知函数
（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值.
（Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且.（为自然对数的底数）
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设切点，由导数的性质可得结合切点在函数上，可得
（Ⅱ）不妨设，，则在上单调递减，由函数零点存在定理可得存在，使得，分类讨论有：①当时，在区间上存在零点，且.②当时,在区间上必存在零点，且.据此即可证得题中的结论.
【详解】（Ⅰ）设切点
又切点在函数上，即
（Ⅱ）不妨设，，所以在上单调递减，
又，
所以必存在，使得，即
.
①当时，，
所以在区间上单调递减，
注意到，
所以函数在区间上存在零点，且.
②当时,所以在区间上单调递增，
又，
且，
所以在区间上必存在零点，且.
综上，有两个不同的零点、，且.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出
，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．
（1）将曲线的参数方程与直线的极坐标方程化为普通方程；
（2）是曲线上一动点，求到直线的距离的最大值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
试题分析：
(1)结合题意可得曲线的普通方程是，直线的直角坐标方程是；
(2)利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得曲线上的点到直线的距离的最大值是.
试题解析：
(1) 由 消去得,
所以曲线的普通方程为.
由 得.
(2) 设曲线上的点为,
则点到直线的距离为
当时, ,
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值
【答案】（1）或.
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为或.
（2）由题意结合(1)中函数的解析式可得，结合柯西不等式的结论可得的最小值为.
【详解】（1），
所以等价于或或，
解得或，所以不等式的解集为或.
（2）由（1）可知，当时，取得最小值，
所以，即，
由柯西不等式，
整理得，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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