2017-2018学年河北辛集中学高三第一次阶段考试
文科数学试卷
一．选择题
1．函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）
2．已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
3．已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
4．f（x）=ex﹣x﹣2在下列那个区间必有零点（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
5．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
6．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|a﹣b|≤1就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=225，yi=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．163 C．166 D．170
9．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为（ ）
A．45 B．55 C．65 D．66
11．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（ ）
A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点
12．已知f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，则（ ）
A．f（20.7）＜f（﹣log25）＜f（﹣3） B．f（﹣3）＜f（20.7）＜f（﹣log25）
C．f（﹣3）＜f（﹣log25）＜f（20.7） D．f（20.7）＜f（﹣3）＜f（﹣log25）
13．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（ ）
A．e2 B．e C．1 D．
14．已知f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x||f（x+t）﹣1|＜2}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3
二．填空题
15．已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ．
16．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a的值是 ．
17．已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值 ．
18．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是 ．
三．解答题
19．已知函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点
（，）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数
y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．
20.某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：
数学成绩分组
[0，30）
[30，60）
[60，90）
[90，120）
[120，150]
人数
60
90
300
x
160
（Ⅰ）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；
（Ⅱ）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB
面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．
23．已知函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax（a∈R）
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间（0，1）内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．
24．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，B两点．
（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点P（0，），求+．
文科数学答案
DCACC BDCBB CABC
1 (0,1)
18. 解：由题意可得：f（x）＜﹣1=f（3），则x＞3，故Q={x|x＞3}；
由|f（x+t）﹣1|＜2可化为：﹣1＜f（x+t）＜3，
即f（3）＜f（x+t）＜f（0），可得0＜x+t＜3，即﹣t＜x＜3﹣t，
故P={x|﹣t＜x＜3﹣t}，
若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则P是Q的真子集，
故可得﹣t≥3，解得t≤﹣3
19.解：（I）∵函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），
又因为其图象过点（，）．
∴φ﹣
解得：φ=
（II）由（1）得φ=，∴f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）=
∴ ∵x∈[0，] ∴4x+∈
∴当4x+=时，g（x）取最大值；
当4x+=时，g（x）取最小值﹣．
20.解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，又平面ABC∩平面ABC=AC，
BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，
BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE=PA=1，
由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，
可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．
21.解：（I）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为，
故甲同学被抽到的概率．
（II）频率分布直方图．
该学校本次考试数学平均分=90．
估计该学校本次考试的数学平均分为90分．
22. （1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，
点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，
解得a=，b=1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，
S△OAB=××=；
②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，
即有4m2=3（1+k2），
|AB|=•=•
=•=•
=•≤•=2，
当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，
可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，
即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．
23.解：f′（x）=x2+（a﹣1）x+a
（1）∵f（x）在x=2处取得极值∴f′（2）=0
∴4+2（a﹣1）+a=0∴∴=
令f′（x）＞0则∴
∴函数f（x）的单调递增区间为
（2）∵f（x）在（0，1）内有极大值和极小值
∴f′（x）=0在（0，1）内有两不等根
对称轴
∴即
∴
24解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1．
∴曲线C1的直角坐标方程为=1，
∴曲线C表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得．
设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
∴t1+t2=﹣，t1t2=，
∴+=|=．
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