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3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.2 导数公式表
课时过关·能力提升
1.下列结论正确的是( )
A.若y=sin x,则y'=cos x
B.若y=cos x,则y'=sin x
C.若yy'
D.若yy'
答案:A
2.下列命题正确的是( )
A.(logax)'.(logax)'
C.(3x)'=3x D.(3x)'=3xln 3
答案:D
3.已知f(x)=xa,若f'(-1)=-4,则a的值等于( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
解析:f'(x)=axa-1,f'(-1)=a(-1)a-1=-4.
当a=4时,a-1=3,则f'(-1)=-4成立.
当a=-4时,f'(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.
答案:A
4.已知f(x)=x4,则f'(2)=( )
A.16 B.24 C.32 D.8
答案:C
★5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f (x)的导函数,则g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)
解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).
答案:D
6.常数的导数为0的几何意义是 .
答案:函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0
7.曲线y=cos x在点x.
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解析:coy=cos x上,y'=-sin x,当x,y'=-1.所以切线方程为y=-1·x+y.
答案:x+y
★8.函数y=x2(x>0)的图象在点(akx轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是 .
解析:∵函数y=x2,y'=2x,
∴函数y=x2(x>0)在点(akyak(x-ak),
令y=0得ak+
又∵a1=16,
∴a=4,a=1,
∴a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案:21
9.当常数k为何值时,直线y=x才能与曲线y=x2+k相切?并求出切点.
分析:利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标,进一步可求k.
解:设切点A(x0.因为y'=2x,
所
所
故当k,直线y=x与函数y=x,切点坐标
★10.已知y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.
(1)求a的值;
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.
分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;
(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.
解:(1)y=cos x上,
∴a=co
(2)∵y'=-sin x,
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∴kl=y
又∵所求直线与直线l垂直,
∴所求直线的斜率
∴所求直线方程为y
即y
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