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协作体高三考试卷
文 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选C．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合，，
∴，故选C．
3．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题得，所以函数是偶函数，
所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得，所以D错误，
故答案为B．
4．已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
则向量在向量方向上的投影为：．
故选D．
5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
可得，解得，则双曲线的标准方程是．故选D．
6．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，
包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，
∴甲被选中的概率为．故选C．
7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】输入，，，，；
，，；
，，；
，结束运算，输出，故选C．
8．在中，，，，则角等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，，
∴由正弦定理得：．则，
又∵，，∴或．故选A．
9．在长方体中，，与所成的角为，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接，
∵，∴是异面直线与所成的角，即，
在中，，
在中，有，即．故选D．
10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数
，
的图象向左平移个单位，得的图象，
∴函数；
又在上为增函数，∴，即，解得，
所以的最大值为2．故选B．
11．函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为的图像关于对称，
所以的图像关于对称，即为偶函数，
因为，
所以，所以，，
因此，，，故选B．
12．双曲线的半焦距为，，分别为的左右焦点，若上存在一点，使得，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则
，，
∴．故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】．
【解析】的导数，
则在处的切线斜率为，切点为，
则在处的切线方程为，即为．
故答案为．
14．若变量，满足约束条件，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；
由得，即直线的截距最大，也最大；
平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，
即；经过点时，截距最小，由，得，
即，此时最小，为；
即的取值范围是，故答案为．
15．已知，，则__________．
【答案】
【解析】∵，，∴，
则，解得．
∴．
故答案为．
16．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，，，则此直三棱柱的高是__________．
【答案】
【解析】因为球的表面积是，所以，∴，
设，则，∴，
设的外接圆的半径为，则，∴．
由题得，∴，
所以此直三棱柱的高是．故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设为数列的前项和，已知，．
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵，，∴，
∴，
∴，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，∴，
∴，
∴
∴，即，，成等差数列．
18．（12分）某商品要了解年广告费（单位：万元）对年利润（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年利润数据作了初步整理，得到下面的表格：
广告费
2
3
4
5
年利润
26
39
49
54
（1）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立关于的回归直线方程；
（2）根据（1）的结果预报广告费用为6万元时的年利润．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【答案】（1）；（2）时，万元．
【解析】（1），，
由表中数据与附中公式，得，
．所以回归方程为．
（2）回归方程为．
时，万元．
∴广告费用为6万元时的年利润为万元．
19．（12分）在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，
且，，为的中点，为上一点，．
（1）若三棱锥的体积为，求的长；
（2）证明：平面．
【答案】（1）．（2）见解析．
【解析】（1）设，
∵，，三棱锥的高为，
∴，解得，即．
（2）如图，连接交于，连接．
∵为的中点，∴，
又，∴，
而平面，平面，∴平面．
20．（12分）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，当直线过点时，以为直径的圆与直线相切．
（1）求抛物线的方程；
（2）与平行的直线交抛物线于，两点，若平行线，之间的距离为，且的面积是面积的倍，求和的方程．
【答案】（1）；（2），或者，．
【解析】（1）设直线方程为代入得，
，
设，，∴，，
，
当时，，的中点为，
依题意可知，解之得，
抛物线方程为．
（2）到直线的距离为，
．
因为平行线，之间的距离为，
则的直线方程为，．
依题意可知，
即，化简得，
∴代入，
∴，或者，．
21．（12分）已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）的定义域为，
当时，，，
1
—
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以在处取得极小值1．函数没有极大值．
（2），
，
①当时，即时，
在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以函数在上单调递增．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解析】（1）； 曲线的直角坐标方程为；
（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．
∴，直线的倾斜角．
∴直线的参数方程为．
代入，得．
设，两点对应的参数为，，则，
∴．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
当时，不等式可化为，解得，所以；
当，不等式可化为，解得，无解；
当时，不等式可化为，解得，所以
综上所述，．
（2）因为，
且的解集不是空集，
所以，即的取值范围是．
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