第二十二章《二次函数》 单元测试卷
一、选择题(每小题只有一个正确答案)
1.若y=（m-2）是关于x的二次函数，则常数m的值为（ ）
A． -1
B． 2
C． -2
D． -1或-2
2.已知抛物线y=ax2+c（a＞0）过A（-3，y1）、B（4，y2）两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2
B．y1=y2
C．y1＜y2
D． 不能确定
3.某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A． 6厘米
B． 12厘米
C． 24厘米
D． 36厘米
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别为（-1，0），（2，0），（0，2），则下列说法不正确的是（ ）
A． 方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1，x2=2
B． 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x+4无交点
C． 当y＞0时，-1＜x＜2
D． 当y＞2时，＜x＜1
5.若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1-（x-a）（x-b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a
的大小关系是（ ）
A．m＜ab＜n
B．a＜m＜n＜b
C．b＜n＜m＜a
D．n＜b＜a＜m
6.有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（ ）
A．S=60x
B．S=x（60-x）
C．S=x（30-x）
D．S=30x
7.如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，12），（0，5）和（2，-3），则a+b+c的值为（ ）
A． -4
B． -2
C． 0
D． 1
8.两条抛物线y1=-x2+b，y2=-x2-b与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的部分的面积为8，则b等于（ ）
A． 1
B． -3
C． 4
D． -1或3
9.将二次函数y=（x-1）2-3的图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y=-（x-1）2+3
B．y=（x+1）2-3
C．y=-（x+1）2-3
D．y=（x-1）2+3
10.抛物线y=ax2、y=bx2、y=cx2的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
11.抛物线y=-x2+6x-9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是（ ）
A． （-6，0）
B． （6，0）
C． （-9，0）
D． （9，0）
12.设a、b为常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下列图形之一，则a的值为（ ）
A． 6或-1
B． -6或 1
C． 6
D． -1
二、填空题
13.抛物线y=2x2-1开口向_______，对称轴是_________，图象有最________点，即函数有最_______值是_______．
14.二次函数y=（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．
15.如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．则这个二次函数的解析式是_________________．
16.某体育商店试销一款成本为50元的足球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于50%．经试销发现，每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数y=-x+120，那么可求出该超市试销中一天可获得的最大利润为____________．
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是____________．
三、解答题
18.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，
若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围； （3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
19.如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1．（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
20.已知二次函数y=x2．（1）根据下表给出x的值，求出对应y的值后填写在表中；
（2）在给出的直角坐标系中画出函数y=x2的图象；（3）根据图象指出，当x＞0时，y随x的增大而增大还是减少？
21.为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度．
22.已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．（1）求直线l的函数解析式；（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．
答案解析
1.【答案】A
【解析】由y=（m-2）是关于x的二次函数，得，解得m=2（不符合题意要舍去），m=-1．
2.【答案】C
【解析】把A（-3，y1）、B（4，y2）分别代入y=ax2+c得，y1=9a+c，y2=16a+c，∴y1-y2=y1=（9a+c）-（16a+c）=-7a，∴a＞0，∴y1-y2＜0，即y1＜y2．
3.【答案】A
【解析】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得18=9k，解得k=2，∴y=2x2，当y=72时，72=2x2，∴x=6．
4.【答案】D
【解析】A、∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为（-1，0），（2，0），∴方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1，x2=2，故此选项正确；B、由图可知，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x+4无交点，故此选项正确；C、由函数图象可知，当-1＜x＜2时，抛物线在x轴上方，故此选项正确；D、∵抛物线与y轴的交点是（0，2），对称轴是x=，∴当y＞2时，0＜x＜1，故此选项错误．
5.【答案】D
【解析】如图抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴交于点（a，0），（b，0），抛物线与直线y=1的交点为（n，1），（m，1），由图象可知n＜b＜a＜m．
6.【答案】C
【解析】由题意得矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，则y=x（30-x）．
7.【答案】C
【解析】由题意得，
解得，所以a+b+c=1-6+5=0．
8.【答案】A
【解析】∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同，∴y1-y2=-x2+b-（-x2-b）=2b；∴2b×|2-（-2）|=8b=8，∴b=1．
9.【答案】A
【解析】二次函数y=（x-1）2-3的图象沿x轴翻折，
所得图象的函数表达式为-y=（x-1）2-3，即y=-（x-1）2+3．
10.【答案】A
【解析】∵a＞0，c＜b＜0，∴a＞b＞c．
11.【答案】D
【解析】∵令x=0得y=-9，∴点B的坐标为（0，-9），∵y=-x2+6x-9=-（x-3）2，∴点A的坐标为（3，0），对称轴为x=3，∵点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形，∴点C的坐标为（6，-9），∴CD=6，∴AB=6，∴点D的坐标为（9，0）．
12.【答案】A
【解析】如图所示：从左起第1，2个图形对称轴为y轴，
则b=0，故与已知矛盾，
故第3，4个图形是正确图形，此时图象过原点，则a2-5a-6=0，故（a-6）（a+1）=0，解得a=6或-1．
13.【答案】上；y轴；低；小；-1
【解析】∵二次函数的二次项系数a＞0，∴抛物线开口向上，函数有最小值，∵y=2x2-1，∴对称轴是y轴，故抛物线y=2x2-1的图象开口向上，对称轴是y轴，
图象有最低点，即函数有最小值是-1．
14.【答案】k＞-1
【解析】如图，抛物线的开口方向向上，则k+1＞0，
解得k＞-1．
15.【答案】y=-x2+x+5
【解析】∵A（-1，0），B（4，0），∴AO=1，OB=4，即AB=AO+OB=1+4=5．∴OC=5，即点C的坐标为（0，5）．设图象经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1），∵点C（0，5）在图象上．∴5=a（0-4）（0+1），即a=-．∴所求的二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1）．即y=-x2+x+5．
16.【答案】1125元
【解析】设该超市试销中一天可获得的利润为W，由题意知W=（x-50）•（-x+120）=-x2+170x-6000=-（x-85）2+1225，∵抛物线的开口向下，∴当x＜85时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于55%，即x-50≤50×50%，∴50≤x≤75，∴当x=75时，W=-（75-85）2+1225=1125，∴当销售单价定为75元时，商场可获得最大利润，最大利润是1125元．
17.【答案】2
【解析】令x=0，则y=x2-2x-1=-1，∴A（0，-1），把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1，解得x1=0，x2=2，∴B（2，-1），∴AB=2，∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，∴△PAB边AB上的高为2，∴S=×2×2=2．
18.【答案】（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，
所以x=-2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△=（2k+1）2-4k×2=（2k-1）2≥0，
即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=-2，x2=-，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1．∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜-4．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，
即k（x2+2x）+x-y+2=0恒成立，
则，解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2），（-2，0）．
【解析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根； （2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题． （3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．
19.【答案】解：（1）由题意可知，A（1，0），A1（2，0），B1（2，1），设以A为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-1）2；∵此抛物线过点B1（2，1），∴1=a（2-1）2，∴a=1，∴抛物线的解析式为y=（x-1）2；（2）∵当x=0时，y=（0-1）2=1，∴D点坐标为（0，1），由题意得OB在第一象限的角平分线上，故可设C（m，m），代入y=（x-1）2；得m=（m-1）2；解得m1=＜1，m2=＞1（舍去）．故C点坐标为（，）．
【解析】（1）先设抛物线的解析式为y=a（x-1）2，再将B1点坐标代入抛物线的解析式即可得出答案；（2）令x=0即可求出D点坐标，再设出C点坐标C（m，m），代入抛物线解析式解方程即可求得C点坐标．
20.【答案】解：（1）
（2）如图所示：；（3）如图所示：当x＞0时，y随x的增大而增大．
【解析】（1）利用已知解析式直接将x的值代入求出答案；
（2）利用（1）中所求画出函数图象即可；
（3）利用函数图象得出二次函数的增减性．
21.【答案】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y=ax2+16，由题意可知，B的坐标为（20，0）∴400a+16=0∴a＝−，∴y＝−x2+16，∴当x=5时，y=15．答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米．
【解析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y=ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x=5时y的值即可．
22.【答案】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得，解得，解析式为y=-x+4．（2）设M点的坐标为（m，n），∵S△AMP=3，∴（4-1）n=3，解得n=2，把M（m，2）代入为2=-m+4得，m=2，M（2，2），∵抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），可得y=a（x-1）2，把M（2，2）代入y=a（x-1）2得，2=a（2-1）2，
解得a=2，函数解析式为y=2（x-1）2．
【解析】（1）设出函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法解答即可；（2）根据三角形的面积求出M点的纵坐标，代入直线解析式求出M的横坐标，再利用P、M的值求出函数解析式．
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