湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)
数 学(理科)
命题人：朱海棠 贺祝华 张天平 欧阳普
审题：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若＝x＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】由已知，y＝(1－i)(x＋i)＝x＋1＋(1－x)i，则y＝x＋1，且1－x＝0，即x＝1，y＝2.
所以＝x－yi＝1－2i，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.
2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ的值为(B)
A. B．－ C. D．－
【解析】由已知，(3a＋λb)·a＝0，即3a2＋λb·a＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－，选B.
3．下列说法中正确的是(C)
A．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10
B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60
C．某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm，则这批零件不合格
D．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病
【解析】对于A，若x1，x2，…，xn的平均数为5，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；
对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．
对于C，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u－3σ，u＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．
对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.
4．已知(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是(A)
A．－84 B．84
C．－24 D．24
【解析】由已知，2n＝128，得n＝7，所以Tr＋1＝C(2x2)7－r＝(－1)r·27－rCx14－3r.
令14－3r＝－1，得r＝5，所以展开式中含项的系数为(－1)527－5C＝－84，选A.
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b＞0，则下列结论正确的是(A)
A．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＞0
B．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＜0
C．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＞0
D．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＜0
【解析】由已知，f(b)＞f(0)＝0.因为a＋c＝2b＞0，则a＞－c，从而f(a)＞f(－c)＝－f(c)，
即f(a)＋f(c)＞0，选A.
6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间内的概率为(C)
A. B. C. D.
【解析】因为当x∈[－2，0]时，y＝2x∈；
当x∈(0，2]时，y＝2x＋1∈(1，5]．
所以当y∈时，x∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P＝＝，选C.
7．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：(B)
①函数f(x)的最小正周期是2π；②函数f(x)在区间上是减函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到．其中正确结论的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
①因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论错误．
②当x∈时，2x＋∈，则f(x)在区间上是减函数，结论正确．
③因为f＝为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x＝对称，结论正确．
④设g(x)＝sin 2x，则g＝sin 2＝sin＝cos 2x≠f(x)，结论错误，选B.
8.已知命题p：若a＞2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：x>0，使(x－1)·2x＝1，则下列命题中为真命题的是(A)
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
【解析】若a＞2且b＞2，则0，得ex>a，即x＞ln a，则f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a)上单调递减，所以f(x)min＝f(ln a)＝eln a－a(ln a－1)＝a(2－ln a)．(4分)
据题意，则ln a＞2，即a>e2，所以a的取值范围是(e2，＋∞)．(5分)
解法二：当x∈(1，＋∞)时，由f(x)＜0，得ex.(1分)
设g(x)＝(x>1)，据题意，当x∈(1，＋∞)时，a＞g(x)能成立，则a>g(x)min.(2分)
因为g′(x)＝＝(x>1)，(3分)
则当x＞2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当1＜x＜2时，g′(x)h(ln a)＝f(ln a)－f(ln a)＝0，
即f(x2)－f(2ln a－x2)>0，即f(x2)>f(2ln a－x2)，所以原不等式成立．(12分)
(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，点P在曲线C1上，其极角为，点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．
【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入，得
曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(3分)
由得x＋2y＝3，所以直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.(5分)
(2)由题设，点P的极坐标为，其直角坐标为(2，2)．(7分)
设点Q(2cos α，sin α)，则PQ的中点M的坐标为.(8分)
点M到直线l的距离d＝＝≤.
所以点M到直线l的距离的最大值为.(10分)
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．
(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；
(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)
当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.
令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)
(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.
由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.
所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)
因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；
当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)
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