第2课时 利用概率判断游戏的公平性
知识点 用概率判断游戏的公平性
1. 小明和小亮做游戏，先各自在纸上写出一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏( )
A．对小明有利 B．对小亮有利
C．公平 D．无法确定对谁有利
2．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面——小明赢1分；抛出其他结果——小刚赢1分；谁先得到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是( )
A．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C．把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
3．甲、乙两人轮流报数，规定第一个人先说“1”或“1，2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数．这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到20，谁就得胜，那么这个游戏( )
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A．是公平的
B．不公平，偏向先报数者
C．不公平，偏向后报数者
D．无法确定
4．A，B两组卡片共5张，A组三张卡片分别写有数字2，4，6，B组两张卡片分别写有数字3，5.这5张卡片除了数字不同外其余均相同．随机地分别从A，B两组卡片中各抽取一张，若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？
5．在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
6．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷， 要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．
(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，
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则摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利？说明理由．
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详解
1．C
2．D [解析] 画树状图得：
因为P(正，正)＝，则出现其他结果的概率为.A项，把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”时，两人获胜的概率都为，此时游戏公平，故此选项正确，不符合题意；B项，把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜的概率都为，此时游戏公平，故此选项正确，不符合题意；C项，∵小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为，故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”，此时游戏公平，故此选项正确，不符合题意；D项，把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”，此时游戏不公平，故此选项错误，符合题意．
3．B [解析] 因为是第一个人先说，所以主动权在第一个人，他肯定按2，5，8，11，14，17，20报数，故第一个人必胜．
4．解：不公平．理由：列表如下：
A
B
2
4
6
3
3×2
3×4
3×6
5
5×2
5×4
5×6
由上表可知，共有6种等可能结果，其中两数之积为3的倍数的结果有4种，
∴P(甲获胜)＝＝，P(乙获胜)＝＝.
∵P(甲获胜)≠P(乙获胜)，
∴这样的游戏规则对甲、乙双方不公平．
5．解：(1)画树状图如下：
6
或列表如下：
小东和小明
3
4
5
7
3
7
8
10
4
7
9
11
5
8
9
12
7
10
11
12
∵所有等可能的结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，∴P(小明获胜)＝＝.
(2)这个游戏不公平．
理由：∵P(小明获胜)＝，
∴P(小东获胜)＝1－＝＞，
∴这个游戏不公平．
6．解：(1)根据题意，妹妹去听讲座的概率为＝，小明去听讲座的概率为＝.
∵>，∴这个办法不公平．
(2)当x＝3时，他们的机会均等；当13x－3且3x－3>0，即1
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