重庆市中山外国语学校2019届高三上学期开学考试（9月）数学（理）试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 绝密★启用前 重庆市中山外国语学校高2019届9月测试卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数 (为虚数单位)，则的虚部为(　　)‎ A． －1 B． ‎0 C． 1 D． i ‎2．集合，,则 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知函数，则的大致图象为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4．已知平面向量, , 且, 则 ( )‎ A． B． C． ‎ D． ‎ ‎5．甲乙丙丁戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法共有（ ）种.‎ A． 150 B． ‎120 C． 180 D． 240‎ ‎6．双曲线的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，，) (　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )[来源:Zxxk.Com]‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．若函数满足，且，则的解集为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。、‎ ‎13．曲线 在处的切线方程为__________．‎ ‎14．记“点满足（）”为事件，记“满足”为事件，若，则实数的最大值为_________．‎ ‎15．已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且，，，则______．‎ ‎16．正方体的外接球的表面积为， 为球心， 为的中点.点在该正方体的表面上运动，则使的点所构成的轨迹的周长等于__________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．等比数列中，已知．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．‎ ‎18．某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：‎ 身高达标 身高不达标 总计 积极参加体育锻炼 ‎40‎ 不积极参加体育锻炼 ‎15‎ 总计 ‎100‎ ‎（1）完成上表；‎ ‎（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）．‎ 参考公式： ，‎ 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．某旅游景区的观景台P位于高为的山峰上（即山顶到山脚水平面M的垂直高度），山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且为以 为底边的等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为，且．现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段，第二段，第三段，…，第n－1段依次为C‎0C1，C‎1C2，C‎2C3，…，Cn－1Cn（如图所示），C‎0C1，C‎1C2，C‎2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为，且．‎ ‎（1）问每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高‎100米? 若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？‎ ‎（2）若修建盘山公路，其造价为万元．修建索道的造价为万元．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少?‎ ‎20．已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.‎ ‎21．已知.‎ ‎（1）当时，若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，，若的最小值是，求的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线，的普通方程；‎ ‎（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围.‎ 理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C ‎7．B 8．C 9．D 10．A 11．B 12．C 二、填空题 ‎13． 14． 15．5 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，‎ 设的公差为，则有解得 从而 所以数列的前项和 ‎18．解：‎ ‎（Ⅰ）填写列联表如下：‎ 身高达标 身高不达标 总计 积极参加体育锻炼 ‎40‎ ‎35‎ ‎75‎ 不积极参加体育锻炼 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎（Ⅱ）K2的观测值为≈1.333＜3.841. ‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．‎ ‎19．解：‎ ‎（1）在盘山公路C‎0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C‎0F．sin∠DFE＝，sin∠DC‎0F＝．‎ ‎∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，‎ 所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，‎ 所以每修建盘山公路‎1000米，垂直高度升高‎100米．[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ 从山脚至半山腰，盘山公路为‎10km．从半山腰至山顶，索道长2．‎5km． ‎ ‎（2）设盘山公路修至山高x（0＜x＜2）km，则盘山公路长为10xkm，索道长 （2－x）km．‎ 设总造价为y万元，则y＝＋ （2－x）·‎2a＝（10－5‎ x）a＋‎10a．‎ 令y′＝ －‎5a＝0，则x＝1．‎ 当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈（1，2）时，y′>0，函数y单调递增，‎ ‎∴x＝1，y有最小值，‎ 即修建盘山公路至山高‎1km时，总造价最小，最小值为‎15a万元．‎ ‎20．解：‎ ‎（Ⅰ）抛物线：一点 ‎，即抛物线的方程为，‎ ‎ ‎ 又在椭圆：上 ‎，结合知（负舍）， ，‎ 椭圆的方程为，抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，‎ ‎①当时，，直线的方程，，故 ‎②当时，直线的方程为，由得 ‎.‎ 由弦长公式知 .‎ 同理可得. ‎ ‎.‎ 令，则，当时，，‎ 综上所述：四边形面积的最小值为8.‎ ‎21．解：‎ ‎（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以 在上有解,即在上有解，所以，得,‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎（2）由题意得：对任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取. ‎ 令，即 ‎，由得，令 ‎ . ‎ 当时，，‎ 在上，；‎ 在上，.所以. ‎ 令在上递减，所以，故方程有唯一解即,[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ 综上，当满足的最小值为，故的最小值为.‎ ‎22．解：‎ ‎（1）：，‎ ‎：，即.‎ ‎（2）设，‎ 到的距离 ，‎ ‎∵，当时，即，，‎ 当时，即，.‎ ‎∴取值范围为.‎ ‎23．解：‎ ‎（1）当时，，‎ ‎①当时，，解得；‎ ‎②当时，，解得；‎ ‎③当时，，解得；‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意可知在上恒成立，‎ 当时， ，‎ 从而可得，即，，‎ 且，，‎ 因此.‎