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2018～2019高三第一次模拟考试试题
高三理科数学
一、 选择题：(本题12小题，每小题5分，共60分）
1、复数的共轭复数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2、已知全集，集合，，则ACB=
A．B．C． D．
3、设随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、下列有关命题的说法错误的是（ ）
A.若“”为假命题，则与均为假命题；
B.“”是“”的充分不必要条件；
C.若命题，则命题；
D.“”的必要不充分条件是“”.
5、欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像大致为 ( )
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
9．若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）
A. 18B.24 C.30 D.36
11、已知和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
12、已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题4小题，每小题5分，共20分）
13．已知菱形的边长为，，则等于________．
14．记为数列的前项和，若，则_____________．
15．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为____________．
16．已知点在同一个球的球面上，，，若四面体
的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为________．
三、解答题：
17．（12分）设是数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式（2）设，求数列的前项和．
18、（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
20
40
20
10
10
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
20
20
40
10
（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为(单位：元),求的分布列和数学期望；
（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
19．（12分）如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上．
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
20．（12分）已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值．
21、（12分）¨°??aoˉêy，
（1）¨º?è·?¨oˉêy¦Ì?á?μ???êy￡?
¡ê¡§2¡ê?¨¦¨¨¡ê?¨º?oˉêy¦Ì?á???á?μ?￡??¤?÷￡o¡ê?
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线
的参数方程为（为参数）．[来源:学*科*网]
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
理科数学答案
附理科答案：
一、选择题：1-------5BCBDC 6--------10ABDDC 11--12CB
二填空题：13. 14.-63 15.13 16.16
一、 解答题：
17、【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，
∴当时，，得；····1分
当时，，
∴当时，，
即，····3分
又，····4分
∴是以为首项，为公比的等比数列．····5分
∴数列的通项公式为．····6分
（2）由（1）知，，····7分
，····8分
当为偶数时，；····10分
当为奇数时，，
∴．····12分/
18、解：（1）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件，则； …………4分
（2）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为，则
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，．所以的所有可能取值为152，156，160，166，172． …………6分
故的分布列为：[来源:Z_xx_k.Com]
152
156
160
166
172
[来源:Zxxk.Com]
[来源:学科网ZXXK]
． …………8分
（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为
． …………10分
所以甲公司送餐员日平均工资为元． …………11分
由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为元．
因为
，故推荐小明去乙公司应聘． …………12分
19、【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设点在平面上的射影为点，连接，
则平面，所以．
因为四边形是矩形，所以，所以平面，····2分
所以．····3分
又，所以平面，····4分
而平面，所以平面平面．····5分
（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，所以，．····6分
由（1）知，又，所以，，
那么，，
，····8分
所以，所以，．
设平面的一个法向量为，则，即．
取，则，，所以．····10分
因为平面的一个法向量为，····11分
所以．
所以二面角的余弦值为．····12分
20、【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取．
依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，
为的中点，为中点，．····1分
，
∴动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分
设其方程为，则，，
，，，动点的轨迹方程为．····5分
（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符．····6分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去整理得．····7分
∵直线与椭圆交于，两点，
∴，解得．····8分
设，，则，，····9分
（定值）．····12分
21、（I）由f（x）=0得a=（2-x）ex，令g（x）=（2-x）ex，
函数f（x）的零点个数即直线y=a与曲线g（x）=（2-x）ex的交点个数，
∵g'（x）=-ex+（2-x）ex=（1-x）ex，-------------（2分）
由g'（x）>0得x1时，ex>e2-x，h'（x）F（1）=0，即f（x）>f（2-x）．-----（10分）
由x2>1得f（x2）>f（2-x2），又f（x2）=0=f（x1），所以f（2-x2）
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