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2018-2019学年高三上学期开学考试
数学（理）试题
考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟．
（2）第I卷、第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I卷（选择题, 共60分．）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列复数是纯虚数的是
A． B． C． D．
2．某校共有500名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩服从正态分布，若，则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为
A．70 B．80 C．90 D．100
3．已知集合，，则
A． B． C．或 D．或
4．已知命题：，使得，则为
A．，总有 B．，使得
C．，总有 D．，使得
5.若，满足约束条件，则的最小值是
A． B． C. D．
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6.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个绿球”，则
A． B． C． D．
7．方程至少有一个负根的充要条件是
A． B． C． D．或
8．设，则的大小关系是
A. B. C. D.
9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为
A. B. C. D.
10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为
A. B. C． D.
11．若，，则的最小值为
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题, 共90分．）
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．)
K13．二项式的展开式中含项的系数为 ．
14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，
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周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率的取值为________．(注：一丈＝10尺)
15．已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是______________.
16．已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为__________________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分12分）
如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ ADC＝β.
（I）求的最大值；
（II）若BD＝1，，求△ABD的面积．
18．（本小题满分12分）哈三中2016级高二期中考试中，某班共50名学生，数学成绩的优秀率为20%，物理成绩大于90分的为优秀，物理成绩的频率分布直方图如图．
（I）这50名学生在本次考试中，数学、物理优秀的人数分别为多少？
（II）如果数学、物理都优秀的有6人，补全下列列联表，并根据列联表，判断是否有以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？
物理成绩/分
60
70
80
90
100
O
0．030
0．026
0．024
0．020
频率/组距
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物理优秀
物理非优秀
总计
数学优秀
6
数学非优秀
总计
附：，其中.
19．（本题满分12分）如图，是边长为的等边三角形，，分别为，靠近，的三等分点，点为边的中点，线段交线段于点，将沿翻折，使平
面⊥平面，连接，，形成如图所示的几何体．
(Ⅰ) 求证：⊥平面；
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值．
20．（本题满分12分）已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（I）求曲线的方程；
（II）设，过点作斜率不为 的直线与曲线交于两点，设直线的斜率分别是，求的值．
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21．（本题满分12分）设函数，，(其中).
（I）当时,求函数的极值;
（II）求证：存在，使得在内恒成立，且方程在内有唯一解.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22.(本小题10分)已知直线（为参数），曲线（为参数）.
（I）求直线与曲线的普通方程；
（II）已知点，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.
23.（本小题10分）已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．
（I）当a＝4时，求不等式的解集；
（II）若不等式有解，求实数a的取值范围．
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四川省棠湖中学2018-2019学年高三上学期开学考试
数学（理）答案
1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.D 10.A 11.D 12.B
13. 14．3 15. 16.
17．解：(1)由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，
0≤α≤，故2cos－cos=2cos－cos＝sin，
故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值.
(2)由cos β＝，得sin β＝，
故sin α＝sin＝sin βcos －cos βsin ＝，
由正弦定理＝，
故AB＝BD＝×1＝，故S△ABD＝AB·BD·sin B＝××1×＝.
18.（1）10,12 （2） 有
19.解：（Ⅰ）证明：在图1中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，
则DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC.
在图2中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG＝F，所以DE⊥平面AFG.
又DE∥BC，所以BC⊥平面AFG.
(Ⅱ)解：因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE＝DE，AF⊥DE，
所以， 平面 又因为DE⊥GF，
所以FA，FD，FG两两垂直．
以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.则
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A(0，0，2)，B(，－3，0)，E(0，－2，0)，
所以＝(，－ 3，－2)，＝(－，1，0)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即取x＝1，则y＝，z＝－1，则n＝(1，，－1)．
显然m＝(1，0，0)为平面ADE的一个法向量，
所以 cos〈m，n〉＝＝. 由图形可知二面角B－AE－D为钝角，
所以，二面角B－AE－D的余弦值为－.
20.解：（I）设,则依题意有，
整理得,即为曲线的方程.
（Ⅱ）设直线,则
由联立得：
∴；即
21.解：（I）当时, ,
令,得,,当变化时,的变化如下表:
极大值
极小值
由表可知,；；
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（II）设，，，若要有解，需有单减区间，则要有解
，由，，记为函数的导数
则，当时单增，令，由，得，需考察与区间的关系：
①当时，，，在上，单增，
故单增，，无解；
②当，时，，，因为单增，在上，在上
当时，
（i）若，即时，，单增，，无解；
（ii）若，即，，在上，，单减；，，在区间上有唯一解，记为；在上，单增 ，，当时，故在区间上有唯一解，记为，则在上，在上，在上，当时，取得最小值，此时
若要恒成立且有唯一解，当且仅当，即，由有
联立两式解得.综上，当时，
22.解：（1）由直线已知直线（为参数），消去参数得：
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曲线（为参数）消去参数得：.
（2）设
将直线的参数方程代入得：
由韦达定理可得： 结合图像可知，
由椭圆的定义知：；
.
23.解：(1)当a＝4时，log2a＝2，
①当x＜－时，－x－2≤2，得－4≤x＜－；②当－≤x≤1时，3x≤2，得－≤x≤；
③当x＞1时，此时x不存在．所以不等式的解集为{x|－4≤x≤}．
(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝
由f(x)的图象知f(x)≥－，∴f(x)min＝－.∴log2a≥－，∴a≥.所以实数a的取值范围是[，＋∞).
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