下册·第一次质量评估试卷
[考查范围：上册＋下册第1章]
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若∠A为锐角，且sin A＝，则∠A的度数为( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )
A. B．4 C．8 D．4
3．如图所示，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10 m，∠B为36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( C )
A．5sin 36° m B．5cos 36° m
C．5tan 36° m D．10tan 36° m
第3题图
第4题图
4．如图所示，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α， tan α＝，则t的值是( C )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．计算cos 60°－sin 45°的结果是( B )
A. B．－ C. D.
6．一斜面的坡比i＝1∶，则坡角α满足( C )
A．sin α＝ B．cos α＝ C．tan α＝ D．tan α＝
7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝2，AB＝4，则tan∠BCD的值为( B )
A. B. C. D.
第7题图
第8题图
第10题图
8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值是( A )
A. B. C. D.
9．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连结AC，BC，则tan∠CAB的值为( D )
A. B. C. D．2
10．如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值( C )
A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．tan245°－1＝__0__．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值为____．
13．若α，β均为锐角，且＋(tan β－1)2＝0，则α＋β＝__75°__．
14．如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm，∠DOB＝100°，那么椅腿AB的长应设计为__41.6_cm__. (结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 50°＝cos 40°≈0.77，sin 40°＝cos 50°≈0.64，tan 40°≈0.84，tan 50°≈1.19)
第14题图
第15题图
15．如图所示，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1 , 则阴影部分的面积为__4__．
16．已知在△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作AD⊥BC于点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC的面积为__8或24__．
三、解答题(共66分)
17．(6分)计算：
(1) 4sin260°－3tan 30°；(2)＋cos245°＋sin245°.
解：(1)原式＝4×－3×＝3－. (2)原式＝＋1＝5.
第18题图
18．(8分)如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝4，CD∥AB，过D点的直线交AC，AB于点F，E，交CB的延长线于点G，DF＝EF.
(1)求证：AE＝CD.
(2)若GB＝2，求BE的长．
解：(1)证明：∵CD∥AB，∴∠D＝∠AEF，在△CDF与△AEF中，
∴△CDF≌△AEF(ASA)，∴AE＝CD.
(2)∵CD∥AB，∴△GBE∽△GCD，∴＝，∴＝，∵AE＝CD，∴＝，∴3BE＝AE，∵AB＝4，∴AE＋BE＝4，即4BE＝4，∴BE＝1.
第19题图
19．(8分)如图所示，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cos C＝，∴∠C＝45°.
在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝×＝1，∴AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，∵tan B＝，∴＝，∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)由(1)可知BC＝4，CE＝1.∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝.
第20题图
20．(8分)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶.求大楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
第20题答图
解：延长AB交DC于点H，作EG⊥AB于点G，如图所示，则GH＝DE＝15 m，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1∶，∴BH∶CH＝1∶，设BH＝x m，则CH＝x m，
在Rt△BCH中，BC＝12 m，由勾股定理，得x2＋(x)2＝122，
解得x＝6，∴BH＝6 m，CH＝6 m，
∴BG＝GH－BH＝15－6＝9(m)，
EG＝DH＝CH＋CD＝(6＋20) m，
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°－45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝6＋20(m)，
∴AB＝AG＋BG＝6＋20＋9≈39.4(m)．
第21题图
21．(8分)如图所示，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.73)
解：设每层楼高为x米，由题意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1米，
∴DC′＝5x＋1, EC′＝4x＋1，在Rt△DC′A′中，∠D′A′C＝60°，
∴C′A′＝＝，在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝＝(4x＋1)，
∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴(4x＋1)－＝14，解得x≈3.17，则居民楼高为5×3.17＋2.5≈18.4(米)．
第22题图
22．(8分)如图所示，二次函数y＝－x2＋x＋3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，连结BC，BD，设∠OCB＝α，∠DBC＝β，求cos(α－β)的值．
第22题答图
解：延长BD交y轴于点P，
∵∠OCB＝α，∠DBC＝β，∴∠OPB＝α－β，
令－x2＋x＋3＝0，
解得x1＝－1.2，x2＝4，
∴点A的坐标为(－1.2，0)，点B的坐标为(4，0)，
x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)，
∵点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为4，∴点D的坐标为(2，4)，
∴直线BD的解析式为：y＝－2x＋8，
∴OP＝8，PB＝＝4，
∴cos(α－β)＝cos∠OPB＝＝.
第23题图
23．(10分)如图所示，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．
解：(1)△ABC为等腰三角形．
第23题答图
理由如下：连结AE，如图，∵＝，
∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE＝＝8，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴AE·BC＝BD·AC，∴BD＝＝，
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝，
∴sin∠ABD＝＝＝.
24．(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P从O出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时点Q从B出发，以每秒1个单位的速度向终点O运动，过点Q作DQ⊥x轴，交BC于点D，连结CP，DP.设运动时间为t.
(1)当t＝1时，求线段PQ的长；
(2)求点D的坐标(用含t的式子表示)；
(3)在点P，Q的运动过程中，是否存在t的值，使△DPQ与△COP相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
第24题图
解：(1)抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴OB＝4，
当t＝1时，OP＝t＝1，BQ＝t＝1，
∴PQ＝OB－OP－BQ＝4－1－1＝2.
(2)∵B(4，0)，C(0，3)，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，
由运动知，BQ＝t，∴OQ＝4－t，
∴DQ＝－(4－t)＋3＝t，∴D.
(3)∵C(0，3)，∴OC＝3，
当0＜t＜2时，
由运动知，OP＝t，BQ＝t，∴PQ＝4－2t，由(2)知，DQ＝t，
∵DQ⊥x轴，∴∠COP＝∠DQP＝90°，
∵△DPQ与△COP相似，
∴①＝，∴＝，
∴t＝－4－4(舍)或t＝4－4，
②＝，∴＝，
∴t＝0(舍)或t＝；
当2＜t＜4时，
由运动知，OP＝t，BQ＝t，∴PQ＝2t－4，
由(2)知，DQ＝t，
∵DQ⊥x轴，∴∠COP＝∠DQP＝90°，
∵△DPQ与△COP相似，
∴①＝，∴＝，∴t＝4(舍)，
②＝，∴＝，∴t＝0(舍)或t＝.
即：△DPQ与△COP相似时，t的值为4－4或或.
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