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眉山中学 2019 届高三上期月考
数学（文科）试卷（2018-9-13）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分(每小题只有一个正确答案)
{
}
{
}
B (
)
1、已知集合 A =
−1, 2, 3 , B
=
0,1, 2, 3, 4 ,则 C
A B
=（
）
{ }
{
}
{
}
{
}
A． 0, 4
B． 0,1, 4
C． 1，4
D．
0,1
2、已知 i 是虚数单位，复数 z
满足[来源:学科网ZXXK]
z i[来源:学科网][来源:学+科+网Z
=1-i ,则
z + 3
=（
[
[来源:学科网]
）
3 + 2i
A． 29
B． 3 3
C． 26
D．5
3、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若 x2 =1 ,则 x = 1 ”的否命题为：“若 x2 =1 ,则 x ¹ 1 ”
B. “ m =1”是“直线 x − my = 0 和直线 x +my = 0 互相垂直”的充要条件
C. 命题“ $x0 Î R ,使得 x02 +x0 + 1 < 0 ”的否定是﹕“ "x Î R ,都有 x 2 +x + 1 < 0 ”
D. 命题“已知 A、B 为某三角形的两内角,若 A > B ,则 sin A > sin B ”的逆否命题为真命题
4、已知各项均不为 0 的等差数列{an }的前 n 项和为 S n (n Î N * ),若 a92 − a8 − a10 = 0 ,则
S17 =（
）
A．2
B．17
C.34
D．68
5、若定义在 R 上的偶函数 f (x) ，满足 f (x +1) = − f (x) 且 x Î[0,1] 时， f (x ) = x ，则方
程 f (x ) = log3
x
的零点个数是（
）
A. 个
B.
个
C. 个
D.6 个
æ
p ö
æ
7p
ö
a −
+ sin a =
4 3
a +
6、已知 cos ç
÷
，则 sin ç
÷ 的值是（
）
è
6 ø
5
è
6
ø
A．
4
B． −
4
C.
3
D． −
3
5
5
5
5
S = S +
1
+
7、执行程序框图，假如输入两个数是 s =1 、 k = 2 ，那么输出的 s = (
)
k − 1
k
A. 1+ 15
B.
15
C. 4
D. 17
æ
p
ö
8、设函数 f ( x ) =
A sin(w x + j ) ç A
> 0, w > 0,
j
<
÷ 的部分图象如图所示，
è
1
2
ø
æ
p
p
ö
若 x1
, x2 Î ç
−
,
÷ ，且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ，则 f ( x1 + x2 ) = (
)
6
3
è
ø
A．1
B．
1
C.
2
D．
3
2
2
2
9、已知函数 f (x ) = ln (x +
)，则不等式 f (x − 1)+ f
(x) > 0 的解集是（
1+ x2
）
A. { x
x > 2}
B. { x
x
1
}
D. { x
x > 0}
2
ïì(1 − 2 a )x , x £ 1
10、已知函数 f (x) =
当 x1 ¹ x2
f (x1 )− f (x2 )
< 0 ，则 a 的取值
í
1
时，
x1 − x2
ïloga x +
, x > 1
î
3
范围是（
）
æ
1
ù
é
1
1
ù
1
é
1
1
ù
A. ç
0,
ú
B.
ê
,
ú
C. （0，
）
D.
ê
,
ú
è
3
û
ë
3 2
û
2
ë
4 3
û
4
3
11、已知 a =20.3 , b = 2−
+ 2−
5
5 , c =1g 9
1g11 ,则 a , b，c 的大小关系是（
）
A． b < a < c
B． a < c < b
C． c < a < b
D． c < b < a
12、己知函数 f (x) =
x
，若关于 x
的方程[ f (x ) ]2 + mf (x ) + m − 1 = 0
恰有 3 个不同的实
ex
数解，则实数 m 的取值范围是(
）
A. ( ¥, 0) È(0,
1
)
B. (1−
1
, +¥)
C. (1−
1
,1)
D. (1, e)
e
e
e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13、设 x Î R ，向量 a = ( x,1) ， b = (1, −2) ，且 a b ，则| a + b |= ____
14、已知关于 x 的不等式 ( x − a )( x − a − 2) £ 0 的解集为 A ，集合 B = { x | −2 £ x £ 2} ．若
“ x Î A ”是“ x Î B ”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是__________．
15、函数 g ( x ) = sin x log 2 (x 2 + 2t + x)为偶函数，则 t =
16、函数 f (x) 是定义在 (0, +¥) 的单调函数，"x Î (0, +¥ ), f [ f (x ) − ln x ] = e +1,（其中 e
为自然对数的底数）给出下面四个命题：① f (1) = e ；②方程 f (x ) + x = 0 只有一个实
数根；③ "x , x Î (0, +¥), 恒有 f (
x1 + x2
) £
f (x1 ) + f (x2 )
；④函数 h ( x ) = xf (x ) − ex
1
1
2
2
的最小值为 −
1
. 其中正确的命题有：
.
e
2
三、解答题：本大题共 6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
ìx = cos a +1
17、（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : í (a 为参数). î y = sina
以 O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C2 的极坐标方程为
r = 4sin q . (1)分别写出圆 C1 的普通方程与圆 C2 的直角坐标方程;
(2)设圆 C1 与圆 C2 的公共弦的端点为 A, B ,圆 C1 的圆心为 C1 ,求 DAC1 B 的面积.
18、（本小题满分 12 分) 已知等差数列{an }中， a1 = −2 ，公差 d = 3 ；数列{bn }中， Sn 为其前 n 项和，满足 2 n S n + 1 = 2n (n Î N + ).
（1）记 cn =
1
，求数列{cn }的前 n 项和Tn
； （2）求数列{bn }的通项公式.
a n an+1
19、（本小题满分 12 分） 2018 年为我国改革开放 40 周年，某事业单位共有职工 600 人，
其年龄与人数分布表如下：
年龄段
[22, 35)
[35, 45)
[45, 55)
[55, 59)
人数（单位：人）
180
180
160
80
约定：此单位 45 岁
59 岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取 30 人作为全市
庆祝晚会的观众.
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有 12 人和 5 人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列 2×2 列联表，并回答能否有 90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
热衷关心民生大事
不热衷关心民生大事
总计
青年
12
中年
5
总计
30
3
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中有 4 人能胜任才艺表演）中，随机抽取 2 人
上台表演节目，则抽出的 2
人能胜任才艺表演的概率是多少？
K 2
=
n ( ad − bc)2
2
³ k0 )
P ( K
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
( a + b )( c + d )( a + c )(b + d )
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
20 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 DABC 中 ， A, B, C 为 三 角 形 三 内 角 ， 且
2 cos 2 A2 + (cos B − 3 sin B ) cos C =1
（1）求角 C 的值； （2）若 AC = 3, CB = 1, AD = 3DB ，求 CD 的长.
21、(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = 2a ln x + lnxx .
（1）若 f (x) 在定义域上单调递增，求实数 a 的取值范围；
（2）若 a = − 12 ，求 f (x) 的极值.
22、(本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax (ln x −1) （ a Î R 且 a ¹ 0 ）.
（1）求函数 y = f ( x) 的单调递增区间；
（2）当 a > 0 时，设函数 g (x ) = 1 x 3 − f (x) ，函数 h (x ) = g ¢ (x) ，
6
(
)
2e < 12 + 2 2 + 32 +
(
)
②证明： ln 1 ´ 2
´ 3 ´
´ n
+ n 2
n Î N*
.
4
眉山中学 2019届高三上期月考
数学（文科）试卷（2018-9-13）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分(每小题只有一个正确答案)
1、已知集合,则=（ ）
A． B． C． D．
2、已知是虚数单位，复数满足,则=（ ）
A． B． C． D．5
3、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若,则”的否命题为：“若,则”
B. “”是“直线和直线互相垂直”的充要条件
C. 命题“,使得”的否定是﹕“,都有”
D. 命题“已知为某三角形的两内角,若,则”的逆否命题为真命题
4、已知各项均不为0的等差数列的前项和为,若,则=（ ）
A．2 B．17 C.34 D．68
5、若定义在上的偶函数，满足且时，，则方程的零点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D.6个
6、已知，则的值是（ ）
A． B． C. D．
7、执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的 ( )
A. B. C. D.
8、设函数的部分图象如图所示，若，且，则( )
A．1 B． C. D．
9、已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
10、已知函数当时， ，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11、已知,则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12、己知函数，若关于的方程 恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、设，向量，，且，则____
14、已知关于的不等式的解集为，集合．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．
15、函数为偶函数，则
16、函数是定义在的单调函数，（其中为自然对数的底数）给出下面四个命题：①；②方程
只有一个实数根；③恒有；④函数的最小值为. 其中正确的命题有： .
三、解答题：本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）在平面直角坐标系中,已知圆(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为. (1)分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程;
(2)设圆与圆的公共弦的端点为,圆的圆心为,求的面积.
解:(1)因为圆,(为参数），所以圆的普通方程是.
因为圆,所以圆的直角坐标方程是.
(2)因为圆,圆,两式相减,得,
即公共弦所在直线为,所以点(1,0)到的距离为，
所以公共弦长为，所以
18、（本小题满分12分) 已知等差数列中，，公差；数列中，为其前项和，满足.
（1）记，求数列的前项和； （2）求数列的通项公式.
解：（1）因为，所以，
则，
所以；
（2）因为，所以，
则，当，满足上述通项公式，所以．
19、（本小题满分12分） 2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：
年龄段
人数（单位：人）
180
180
160
80
约定：此单位45岁59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
热衷关心民生大事
不热衷关心民生大事
总计
青年
12
中年
5
总计
30
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中有4人能胜任才艺表演）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
解：（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；
（2）2×2列联表如下：
热衷关心民生大事
不热衷关心民生大事
总计
青年
6
12
18
中年
7
5
12
总计
13
17
30
，
∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，其余两人记为，则从中选两人，一共有如下15种情况：
，，
抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以．
20、(本小题满分12分) 在中，为三角形三内角，且
（1）求角的值； （2）若，求的长.
21、(本小题满分12分) 设函数.
（1）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，求的极值.
22、(本小题满分12分）已知函数（且）.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，设函数，函数，
①若恒成立，求实数的取值范围；
②证明：.
解：（1），令，
当时，解得；当时，解得，
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是.
（2）①，由题意得，
因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，由，得，解得，
所以实数的取值范围是．
②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立，时，，令，累加可得
，
即 .
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