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眉山中学 2019 届高三上期月考
数学（理科）试卷（2018-9-13）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分(每小题只有一个正确答案)
1、已知集合 A = {−1, 2, 3}, B = {0,1, 2, 3, 4},则 C B ( A B) =（ ）
A．{0, 4} B．{0,1, 4} C．{1，4} D．{0,1}
2、已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3z+2ii =1-i ,则 z + 3 =（ ）
A． 29 B． 33 C． 26 D．5
3、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若 x2 =1 ,则 x = 1 ”的否命题为：“若 x2 =1 ,则 x ¹ 1 ”
B. “ m =1”是“直线 x − my = 0 和直线 x +my = 0 互相垂直”的充要条件
C. 命题“ $x0 Î R ,使得 x02 +x0 + 1 < 0 ”的否定是﹕“ "x Î R ,都有 x 2 +x + 1 < 0 ”
D. 命题“已知 A、B 为某三角形的两内角,若 A > B ,则 sin A > sin B ”的逆否命题为真命题
4、已知各项均不为 0 的等差数列{an }的前 n 项和为 S n (n Î N * ),若 a92 − a8 − a10 = 0 ,则
S17 =（ ）
A．2 B．17 C．34 D．68
5、若定义在 R 上的偶函数 f (x) ，满足 f (x +1) = − f (x) 且 x Î[0,1] 时， f (x ) = x ，则方程 f (x ) = log3 x 的零点个数是（ ）
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
A. 个 B. 个 C. 个 D.6 个
6、已知函数 f (x ) = ln (x + 1+ x2 )，则不等式 f (x − 1)+ f (x) > 0 的解集是（ ）
A. { x
[来源:学*科*网
x > 2}
B. { x[来源:学§科§网Z§X§X§K]
x
1
}
D. { x[来源:学&科&网]
x > 0}[来源:学*科*网Z*X*X*K]
]
2
7、执行程序框图，假如输入两个数是 s =1 、k = 2 ，那么输出的 s = ( )
A. 1+15 B. 15 C. 4 D. 17
S = S +
1
k − 1
+ k
1
8、已知函数 f (x)
ïì(1 − 2 a )x , x £ 1
f (x1 )− f (x2 )
= í
1
当 x1
¹ x2
时，
< 0 ，则 a 的取值范
x1
− x2
ïloga x +
, x > 1
3
î
围是（
）
æ
1 ù
é
1
1
ù
1
é
1
1 ù
A. ç 0,
ú
B.
ê
,
ú
C. （0，
）
D.
ê
,
ú
è
3 û
ë
3
2
û
2
ë
4
3 û
9、已知 a =20.3 , b = 2−
4
+ 2−
3
5
5
, c =1g 9 1g11 ,则 a , b，c 的大小关系是（
）
A． b < a < c
B． a < c < b
C． c < a < b
D． c < b < a
10、某学校将 A、B、C、D、E，五名同学分配到 3 个班，且每个班至少分得一人，五名同学
中 A 与 B 不能分到同一班,则不同的分配方法共有（
）
A．114 种
(
)(
B．150 种
( )
C. 120 种
( )
D．118 种
11、已知偶函数 f
x ¹ 0
)
= 0 ，当 x > 0 时，
x
的导函数为 f ¢
x
，且满足 f 1
xf ¢(x ) < 2 f (x) ，则使得 f
(x) > 0 成立的 x 的取值范围是（
）
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
A．
¥, −1
0,1
B．
¥, −1
1,
+¥
C．
−1, 0
1, +¥
D．
−1, 0
0,1
ì
x
, x ³ 0
2
ïxe
12、设函数 f (x) = í
− xe x , x <
（ 是自然对数底数）,关于 x 的方程[ f (x ) ] + mf (x) + 1 = 0
ï
0
î
有四个实数根,则 m 的取值范围为
A. (e +
1
, +¥)
B. ( ¥, −e −
1
)
C. (− e −
1
, −2)
D. (2, e +
1
)
e
e
e
e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13、设 x Î R ，向量 a = ( x,1) ， b = (1, −2) ，且 a b ，则| a + b |= ____
14、函数 g ( x ) = sin x log 2 ( x 2 + 2t + x)为偶函数，则 t =
p
æ
1 ö6
15、设 a = ò0
sin xdx ，则 ç a x −
÷
的展开式中常数项是
è
x ø
16、函数 f (x) 是定义在 (0, +¥) 的单调函数，"x Î (0, +¥ ), f [ f (x ) − ln x ] = e +1,（其中 e
为自然对数的底数）给出下面四个命题：① f (1) = e ；②方程 f (x ) + x = 0 只有一个实
数根；③ "x , x Î (0, +¥), 恒有 f (
x1 + x2
) £
f (x1 ) + f (x2 )
；④函数 h ( x ) = xf (x ) − ex
1
1
2
2
的最小值为 −
1
. 其中正确的命题有：
.
e
2
三、解答题：本大题共 6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
ìx = cos a +1
17、（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : í (a 为参数). î y = sina
以 O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C2 的极坐标方程为
r = 4sin q . (1)分别写出圆 C1 的普通方程与圆 C2 的直角坐标方程;
(2)设圆 C1 与圆 C2 的公共弦的端点为 A, B ,圆 C1 的圆心为 C1 ,求 DAC1 B 的面积.
18、（本小题满分 12 分) （1）已知 p : 关于 x 的方程 x 2 − ax + 4 = 0 有实根；
q :关于 x 的函数 y = 2 x 2 + ax + 4 在区间[3, +¥)上是增函数，若“ p 或 q ”是真命题，
“ p 且 q ”是假命题，求实数 a 的取值范围；
(
)
2
(
) (
)
（2）已知 p :
4 x − 3
£ 1; q : x 2 −
2 a
+ 1 x + a
a + 1
£ 0 ，若 Øp 是 Øq 的必要不充分条
件，求实数 a 的取值范围.
19 、（ 本 小 题 满 分
12 分 ） 在 DABC 中 ， A, B, C 为 三 角 形 三 内 角 ， 且
2 cos 2
A
+ (cos B −
sin B ) cos C =1
3
2
（1）求角 C 的值； （2）若 AC = 3, CB = 1, AD = 3DB ，求 CD 的长.
20、（本小题满分 12 分） 伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了 50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:
年龄（单位：岁）
15 : 25
)
[
25,35
)
[
35, 45
)
[
45,55
)
[
55, 65
)
[
65, 75
]
[
人数
5
10
15
10
5
5
使用手机支付人数
3
10
12
7
2
1
(1)若以“年龄 55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的 2 ´ 2 列联表，并判断是否有
99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:
3
年龄不低于 55 岁的人数
年龄低于 55 岁的人数
合计
使用
不使用
合计
(2)若从年龄在[55, 65) , [65, 75]内的被调查人中各随机选取 2 人进行追踪调查.记选中的
4 人中“使用手机支付”的人数为x .
①求随机变量x 的分布列;
②求随机变量x 的数学期望.
参考数据如下:
P (K 2 ³ k
)
0.050
0.010
0.001
0
k0
3.841
6.635
10.828
n ( ad − bd )2
参考公式： K 2 =
, n = a + b + c + d
( a + b )( c + d )( a + c )(b + d )
21、(本小题满分 12 分) 设函数 f (x ) = ( x − 2)e x +
1
ax 2
− ax .
2
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）设 a = 1 ，当 x ³ 0 时， f (x ) ³ kx − 2 ，求 k 的取值范围.
22、(本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = a ln x + bx ( a, b Î R) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线
方程为 x − 2 y − 2 = 0 .
（1）求 a , b 的值；
（2）当 x > 1 时， f ( x) +
k
< 0 恒成立，求实数 k
的取值范围；
x
（3）证明：当 n Î N * , 且 n ³ 2 时，
1
+
1
+ +
1
>
3n 2 − n − 2
2 ln 2
3ln 3
n ln n
2 n 2 + 2n
4
眉山中学 2019届高三上期月考
数学（理科）试卷（2018-9-13）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分(每小题只有一个正确答案)
1、已知集合,则=（ ）
A． B． C． D．
2、已知是虚数单位，复数满足,则=（ ）
A． B． C． D．5
3、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若,则”的否命题为：“若,则”
B. “”是“直线和直线互相垂直”的充要条件
C. 命题“,使得”的否定是﹕“,都有”
D. 命题“已知为某三角形的两内角,若,则”的逆否命题为真命题
4、已知各项均不为0的等差数列的前项和为,若,则=（ ）
A．2 B．17 C．34 D．68
5、若定义在上的偶函数，满足且时，，则方程的零点个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D.6个
6、已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7、执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的 ( )
A. B. C. D.
8、已知函数当时， ，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9、已知,则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10、某学校将A、B、C、D、E，五名同学分配到3个班，且每个班至少分得一人，五名同学中A与B不能分到同一班,则不同的分配方法共有（ ）
A．114种 B．150种 C. 120种 D．118种
11、已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、己知函数，若关于的方程 恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、设，向量，，且，则____
14、函数为偶函数，则
15、设，则的展开式中常数项是
16、函数是定义在的单调函数，（其中为自然对数的底数）给出下面四个命题：①；②方程只有一个实数根；③恒有；④函数的最小值为. 其中正确的命题有： .
三、解答题：本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）在平面直角坐标系中,已知圆(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为. (1)分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程;
(2)设圆与圆的公共弦的端点为,圆的圆心为,求的面积.
解:(1)因为圆,(为参数），所以圆的普通方程是.
因为圆,所以圆的直角坐标方程是.
(2)因为圆,圆,两式相减,得,
即公共弦所在直线为,所以点(1,0)到的距离为，
所以公共弦长为，所以
18、（本小题满分12分) （1）已知关于的方程有实根；
关于的函数在区间上是增函数，若“或”是真命题，
“且”是假命题，求实数的取值范围；
（2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）若真，则，[∴或，若真，则，∴，
由“或”是真命题，“且”是假命题，
知、一真一假，当真假时： ；当假真时： .
综上，实数的取值范围为；
（2），∴，∴
19、（本小题满分12分）在中，为三角形三内角，且
（1）求角的值； （2）若，求的长.
20、（本小题满分12分） 伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:
年龄（单位：岁）
人数
5
10
15
10
5
5
使用手机支付人数
3
10
12
7
2
1
(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:
年龄不低于55 岁的人数
年龄低于55 岁的人数
合计
使用
不使用
合计
(2)若从年龄在,内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.
①求随机变量的分布列; ②求随机变量的数学期望.
参考数据如下:
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参考公式：
解:(1)列联表如下:
年龄不低于55岁的人数
年龄低于55岁的人数
合计
使用
3
32
35
不使用
7
8
15
合计
10
40
50
的观测值
所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关.
(2)①由题意,可知所有可能取值有0,1,2,3,
, ,
,，
所以的分布列是
0
1
2
3
②
21、(本小题满分12分) 设函数.
（1）讨论的单调性；（2）设，当时，，求的取值范围.
解：（1）由题意得，
当时，当；当时，；
在单调递减，在单调递增，
当时，令得，
①当时，；当时，；
当时，；
所以在单调递增，在单调递减；
②当时，，所以在单调递增，
③当时，；
当时，；当时，；
∴在单调递增，在单调递减；
（2）令，有，令，有，
当时，单调递增．∴，即．当，即时，在单调递增，
，不等式恒成立，
②当时，有一个解，设为根，
∴有单调递减；当时，单调递增，有，∴当时，不恒成立；
综上所述，的取值范围是．
22、(本小题满分12分）已知函数的图像在点处的切线方程为. （1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当且时，
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