2018年辽宁省丹东九年级上第一次月考数学试卷（附答案解析）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每题2分，共20分）‎ ‎1．（2分）已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（　　）‎ A．24 B．96 C．12 D．45‎ ‎2．（2分）如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4‎ ‎3．（2分）下列命题错误的是（　　）‎ A．平行四边形的对边相等 B．一个角是直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 ‎4．（2分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（　　）‎ A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=0‎ ‎5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）‎ A．6 B．12 C．2 D．4‎ ‎6．（2分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）‎ A．12 B．9 C．13 D．12或9[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎7．（2分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B．2 C．2 D．‎ ‎8．（2分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3‎ ‎9．（2分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）‎ A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45‎ ‎10．（2分）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则A：B等于（　　）‎ A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9‎ ‎　‎ 二、填空题（每题2，共20分 ‎11．（2分）将方程x2+2x﹣7=0配方为（x+m）2=n的形式为　 　．‎ ‎12．（2分）菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=　 　．‎ ‎13．（2分）若一元二次方程（3m+6）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=　 　．‎ ‎14．（2分）如图，已知点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为　 　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．（2分）已知方程ax2+bx+c=0，满足a﹣b+c=0，则必有一个根为　 　．‎ ‎16．（2分）点 P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　 　．‎ ‎17．（2分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为121元，则列出的方程是　 　．‎ ‎18．（2分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是　 　．‎ ‎19．（2分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=　 　．‎ ‎20．（2分）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=　 　．‎ ‎　‎ 三、简答题 ‎21．（20分）解方程 ‎（1）6x2﹣7x+1=0‎ ‎（2）4x2﹣3x=52‎ ‎（3）（x﹣2）（x﹣3）=12‎ ‎（4）5x2﹣18=9x．‎ ‎22．（6分）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2=0的根．‎ ‎23．（8分）如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F ‎（1）求证：四边形AEFD是菱形；‎ ‎（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎24．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．‎ ‎25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．‎ 求：‎ ‎（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？‎ ‎（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？‎ ‎26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．‎ ‎（1）证明：PC=PE；‎ ‎（2）求∠CPE的度数；‎ ‎（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题2分，共20分）‎ ‎1．（2分）已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（　　）‎ A．24 B．96 C．12 D．45‎ ‎【解答】解：∵菱形的周长是20，‎ ‎∴菱形的边长为20÷4=5，‎ ‎∵两条对角线的比是4：3，‎ ‎∴设两对角线的一半分别为4k、3k，‎ 由勾股定理得，（4k）2+（3k）2=52，‎ 解得k=1，‎ ‎∴两对角线的一半分别为4，3，‎ 两对角线的长分别为8，6，‎ ‎∴这个菱形的面积=×8×6=24．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2分）如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4‎ ‎【解答】解：把x=4代入方程x2﹣3x=a2可得16﹣12=a2，‎ 解得a=±2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（2分）下列命题错误的是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．平行四边形的对边相等 B．一个角是直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 ‎【解答】解：A、正确．平行四边形的对边相等；‎ B、正确．一个角是直角的平行四边形是矩形；‎ C、正确．矩形的对角线相等；‎ D、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形对角线相等，不是矩形；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（2分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（　　）‎ A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=0‎ ‎【解答】解：A、△=0，方程有两个相等的实数根；‎ B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；‎ C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；‎ D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）‎ A．6 B．12 C．2 D．4‎ ‎【解答】解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，‎ ‎∵沿EF翻折后点C与点A重合，‎ ‎∴AE=CE=16﹣x，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，‎ 即82+x2=（16﹣x）2，‎ 解得x=6，‎ ‎∴AE=16﹣6=10，‎ 由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，‎ ‎∵矩形ABCD的对边AD∥BC，‎ ‎∴∠AFE=∠CEF，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴AE=AF=10，‎ 过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，‎ ‎∴EH=AB=8，‎ AH=BE=6，‎ ‎∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，‎ 在Rt△EFH中，EF===4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（2分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）‎ A．12 B．9 C．13 D．12或9‎ ‎【解答】解：x2﹣7x+10=0，‎ ‎（x﹣2）（x﹣5）=0，‎ x﹣2=0，x﹣5=0，‎ x1=2，x2=5，‎ ‎①等腰三角形的三边是2，2，5‎ ‎∵2+2＜5，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；‎ ‎②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；‎ 即等腰三角形的周长是12．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（2分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．‎ ‎【解答】解：由题意，可得BE与AC交于点P．‎ ‎∵点B与D关于AC对称，‎ ‎∴PD=PB，‎ ‎∴PD+PE=PB+PE=BE最小．‎ ‎∵正方形ABCD的面积为12，‎ ‎∴AB=2．‎ 又∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BE=AB=2．‎ 故所求最小值为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（2分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3‎ ‎【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，‎ 则根据一元二次方程根与系数的关系，‎ 得﹣1+x1=﹣3，‎ 解得：x1=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（2分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）‎ A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45‎ ‎【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，‎ ‎∴共比赛场数为x（x﹣1），‎ ‎∵共比赛了45场，‎ ‎∴x（x﹣1）=45，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（2分）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则A：B等于（　　）‎ A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9‎ ‎【解答】解：∵大四边形是正方形，‎ ‎∴∠ECH=45°，‎ ‎∴HC=HE，‎ 同理，CH=HG=GD，即EF=CD，‎ OD=CD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴=，‎ ‎∵面积为A的三角形与面积为B三角形都是等腰直角三角形，‎ ‎∴这两个三角形相似，‎ ‎∴A：B=（）2=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题2，共20分 ‎11．（2分）将方程x2+2x﹣7=0配方为（x+m）2=n的形式为　（x+1）2=8　．‎ ‎【解答】解：把方程x2+2x﹣7=0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x=7，‎ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1=7+1，‎ 配方得（x+1）2=8．‎ 故答案为（x+1）2=8．‎ ‎　‎ ‎12．（2分）菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=　3　．‎ ‎【解答】解：如图：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠BAC=∠BAD，AC⊥BD，BD=2BO，‎ ‎∵∠BAD=120°，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∵AB=3，‎ ‎∴BO=3×sin60°=，‎ ‎∴BD=3．‎ 故答案为：3．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎13．（2分）若一元二次方程（3m+6）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=　2　．‎ ‎【解答】解：由题意，得 m2﹣4=0且3m+6≠0，‎ 解得m=2，[来源:学科网ZXXK]‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．（2分）如图，已知点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为　（1，﹣3）或（3，﹣1）　．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，‎ ‎∴可设A（x，x﹣4），‎ ‎∴OB=x，AB=4﹣x，‎ ‎∴S矩形ABOC=OB•OA=x（4﹣x）=3，解得x=1或x=3，[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎∴A点坐标为（1，﹣3）或（3，﹣1），‎ 故答案为：（1，﹣3）或（3，﹣1）．‎ ‎　‎ ‎15．（2分）已知方程ax2+bx+c=0，满足a﹣b+c=0，则必有一个根为　x=﹣1　．‎ ‎【解答】解：∵a﹣b+c=0，‎ ‎∴c=﹣a+b，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴ax2+bx﹣a+b=0，‎ ‎∴a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）=0，‎ ‎∴（x+1）（ax﹣a+b）=0，‎ ‎∴x+1=0或ax﹣a+b=0，‎ ‎∴方程必有一个根为x=﹣1．‎ 故答案为x=﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．（2分）点 P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　2.4　．‎ ‎【解答】解：连接OP，‎ ‎∵矩形的两条边AB、AD的长分别为3和4，‎ ‎∴S矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD=5，‎ ‎∴OA=OD=2.5，‎ ‎∴S△ACD=S矩形ABCD=6，‎ ‎∴S△AOD=△ACD=3，‎ ‎∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×2.5×PE+×2.5×PF=（PE+PF）=3，‎ 解得：PE+PF=2.4．‎ 故答案为：2.4．‎ ‎　‎ ‎17．（2分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为121元，则列出的方程是　100（1+x%）2=121　．‎ ‎【解答】解：第一次涨价后的价格为100×（1+x%），‎ 第二次涨价后的价格为100×（1+x%）2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则可列方程为100（1+x%）2=121，‎ 故答案为100（1+x%）2=121．‎ ‎　‎ ‎18．（2分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是　15°或75°　．‎ ‎【解答】解：有两种情况：‎ ‎（1）当E在正方形ABCD内时，如图1‎ ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AD=CD，∠ADC=90°，‎ ‎∵等边△CDE，‎ ‎∴CD=DE，∠CDE=60°，‎ ‎∴∠ADE=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴AD=DE，‎ ‎∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°；‎ ‎（2）当E在正方形ABCD外时，如图2‎ ‎∵等边三角形CDE，‎ ‎∴∠EDC=60°，‎ ‎∴∠ADE=90°+60°=150°，‎ ‎∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°．‎ 故答案为：15°或75°．‎ ‎　‎ ‎19．（2分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　25　．‎ ‎【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，‎ ‎∴m+n=4，mn=﹣3，‎ 则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25．‎ 故答案为：25．‎ ‎　‎ ‎20．（2分）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=　2﹣3　．‎ ‎【解答】解：连接BH，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，‎ ‎∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，[来源:学科网ZXXK]‎ 由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，‎ ‎∴∠ABE=60°，‎ 在Rt△ABH和Rt△EBH中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），‎ ‎∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，‎ ‎∴∠BHA=∠BHE=60°，‎ ‎∴∠KHF=180°﹣60°﹣60°=60°，‎ ‎∵∠F=90°，∴∠FKH=30°，‎ ‎∴AH=AB•tan∠ABH=×=1，‎ ‎∴EH=1，‎ ‎∴FH=﹣1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△FKH中，∠FKH=30°，‎ ‎∴KH=2FH=2（﹣1），‎ ‎∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；‎ 故答案为：2﹣3．‎ ‎　‎ 三、简答题 ‎21．（20分）解方程 ‎（1）6x2﹣7x+1=0‎ ‎（2）4x2﹣3x=52‎ ‎（3）（x﹣2）（x﹣3）=12‎ ‎（4）5x2﹣18=9x．‎ ‎【解答】解：（1）∵6x2﹣7x+1=0，[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎∴（6x﹣1）（x﹣1）=0，‎ ‎∴6x﹣1=0，x﹣1=0，‎ ‎∴x1=，x2=1‎ ‎（2）∵4x2﹣3x=52，‎ ‎∴4x2﹣3x﹣52=0，‎ ‎∴（4x+13）（x﹣4）=0，‎ ‎∴4x+13=0或x﹣4=0，‎ ‎∴x1=﹣，x2=4．‎ ‎（3）∵（x﹣2）（x﹣3）=12，‎ ‎∴x2﹣5x﹣6=0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴（x，﹣6）（x+1）=0，‎ ‎∴x﹣6=0或x+1=0，‎ x1=﹣1 x2=6．‎ ‎（4）∵5x2﹣18=9x，‎ ‎∴5x2﹣9x﹣18=0，‎ ‎∴（5x+6）（x﹣3）=0，‎ ‎∴5x+6=0或x﹣3=0，‎ ‎∴x1=﹣，x2=3‎ ‎　‎ ‎22．（6分）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2=0的根．‎ ‎【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，‎ ‎∴2x2﹣x=4x﹣2，即2x2﹣5x+2=0，‎ 解得：x=（舍去）或x=2，‎ 把x=2代入方程得：2m2+2m﹣2=0，即m2+m﹣1=0，‎ 解得：m=．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F ‎（1）求证：四边形AEFD是菱形；‎ ‎（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DE∥AF，‎ ‎∵EF∥AD，‎ ‎∴四边形DAFE是平行四边形，‎ ‎∵∠2=∠AFD，‎ ‎∵DF是▱ABCD的∠ADC的平分线 ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴∠AFD=∠1．‎ ‎∴AD=AF．‎ ‎∴四边形AFED是菱形．‎ ‎（2）∵∠DAF=60°，‎ ‎∴△AFD为等边三角形．‎ ‎∴DF=5，连接AE与DF相交于O，则FO=．‎ ‎∴OA=．‎ ‎∴AE=5．‎ ‎∴S菱形AFED=AE•DF=‎ ‎　‎ ‎24．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．‎ ‎【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，‎ ‎∴m2﹣m﹣2=0，‎ ‎∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，‎ ‎∴（m2﹣m）（m﹣+1）‎ ‎=‎ ‎=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=2×（1+1）‎ ‎=2×2‎ ‎=4．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．‎ 求：‎ ‎（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？‎ ‎（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，‎ 化简得：x2﹣35x+300=0，‎ 解得：x1=15，x2=20，‎ ‎∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．∴x=20‎ 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；‎ ‎（2）y=（50﹣x）（30+2x）=﹣2x2+70x+1500，‎ 当x=﹣=17.5时，y最大．‎ 答：每件商品降价17.5元时，商场日盈利的最大．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．‎ ‎（1）证明：PC=PE；‎ ‎（2）求∠CPE的度数；‎ ‎（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，‎ ‎∠ABP=∠CBP=45°，‎ 在△ABP和△CBP中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABP≌△CBP（SAS），‎ ‎∴PA=PC，‎ ‎∵PA=PE，‎ ‎∴PC=PE；‎ ‎（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，‎ ‎∴∠BAP=∠BCP，‎ ‎∴∠DAP=∠DCP，‎ ‎∵PA=PE，‎ ‎∴∠DAP=∠E，‎ ‎∴∠DCP=∠E，‎ ‎∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），‎ ‎∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，‎ 即∠CPF=∠EDF=90°；‎ ‎（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，‎ 在△ABP和△CBP中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABP≌△CBP（SAS），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，‎ ‎∵PA=PE，‎ ‎∴PC=PE，‎ ‎∴∠DAP=∠DCP，‎ ‎∵PA=PC，‎ ‎∴∠DAP=∠AEP，‎ ‎∴∠DCP=∠AEP ‎∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），‎ ‎∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，‎ 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴△EPC是等边三角形，‎ ‎∴PC=CE，‎ ‎∴AP=CE．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费