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2016级 高三第一次月考 数学试题
时间：2018.9.14
一、 选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．与函数相同的函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．幂函数在上单调递增，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
4.已知中，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
5．已知中，,,,为边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数的最小正周期为，且，则 （ ）
A．在单调递减 B．在单调递增
C．在单调递增 D．在单调递减
7.下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①若是奇函数，则的图像关于轴对称；
②若，则；
③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；
④命题“在中，是成立的充要条件；
⑤命题“存在”的否定是“任意”
A． B． C. D．
8．李大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．的三个内角的对边分别为，若，，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：
①；②；③；
④；⑤若这些向量均以为起点，
则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤
12．已知，若，则当取得最小值时，所在区间是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 已知两个平面向量满足，且与的夹角为，则
14.设，则 ．
15.如图，在中，,，点是外一点，，，则平面四边形面积的最大值是 .
16.已知函数若的两个零点分别为，则 ．
三．解答题：（本大题共6小题，共70分）
17.(本小题满分10分）
已知函数.
（1） 求函数的最小正周期及单调减区间；
（2） 若，，求的值.
18. （本小题满分12分）
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcos A＝ccos A＋acosC.
(1)求tanA的值；
(2)若a＝4，求△ABC的面积的最大值.
19.（本小题满分1 2分）
某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
（月份）
1
2
3
4
5
（万盒）
4
4
5
6
6
（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊.后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望.
20．已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，．
（）求的值．
（）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知向量，，．
（）求函数的单增区间．
（）若，求值．
（）在中，角，，的对边分别是，，．且满足，求函数的取值范围．
22. （本小题满分12分）
已知函数（为常数，）
（1） 当时，求函数在处的切线方程；
（2） 当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
2016级 高三第一次月考 数学试题答案
1~5 CBCDC
6~10 ACACD
11、12BB
13. 2 14. 15. 16. 3
17.(本小题满分10分）
已知函数.
（1） 求函数的最小正周期及单调减区间；
（2）若，，求的值.
17.解：（1）
所以， 由
化简得
所以，函数的单调递减区间为
（2）因为 ， 所以 即
5又因为，所以
则 ，
18. （本小题满分12分）
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcos A＝ccos A＋acosC.
(1)求tanA的值；
(2)若a＝4，求△ABC的面积的最大值.
（1）
(2)
19.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
（月份）
1
2
3
4
5
（万盒）
4
4
5
6
6
（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊.后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望.
解：（1），，因线性回归方程过点，.
6月份的生产甲胶囊的产量数：.
（2），，，
，.
其分布列为
.
20．已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，．
（）求的值．
（）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（）．
（）．
【解析】解：（）．
（）∵是奇函数，
∴，
∵，且在上单调，
∴在上单调递减，
∵
∵，
∵是奇函数，
∴，
∵是减函数，
∴，即对任意恒成立，
∴得即为所求，
∴的取值范围为．
21．已知向量，，．
（）求函数的单增区间．
（）若，求值．
（）在中，角，，的对边分别是，，．且满足，求函数的取值范围．
【答案】（）．
（）．
（）．
【解析】（）
，
∴．
由，得：
，．
的递增区间是．
（）．
．
∵，
∴，
∴．
（）∵．
由正弦定理得．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴，．
又∵．
∴．
故函数的取值范围是．
22. （本小题满分12分）
已知函数（为常数，）
（1） 当时，求函数在处的切线方程；
（2） 当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
22. （1）时，，∴，
于是，又，即切点为，∴切线方程为.
（2） ，，即，
∵，∴，此时，∴上减，上增，
又，∴.
（3）
因为，所以，即，
所以在上单调递增，所以，
只需满足，
设，
又，∴在的右侧需先增，∴
设，对称轴，
又，∴在时，，即，
∴在上单调递增，∴ ，
所以的取值范围是.
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