2018-2019学年九年级上专题复习一：与圆有关的线段（含答案）.docx

专题复习一 与圆有关的线段 弦、半径、直径是圆中的主要线段，主要应用垂径定理解决与线段有关的计算，弦心距和半径是主要的辅助线，方程思想是计算的主要思想方法．‎ ‎1.如图所示，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为(D).‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎(第1题)(第2题)(第3题)(第4题)‎ ‎2.如图所示，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为(C).‎ A.3 B.3 C.6 D.6‎ ‎3.如图所示，半径为3的⊙O内有一点A，OA=3，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长为(B).‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎4.如图所示，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为点M，N.如果MN=1，那么△ABC的面积为(B).‎ A.3 B. C.4 D. ‎ ‎5.如图所示，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB=8，CD=2，则EC的长为(D).‎ A.2 B.8 C.2 D.2‎ ‎(第5题)(第6题) （第7题）（第8题）‎ ‎6.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图所示，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长.”根据题意可得CD的长为 26 ．‎ ‎7.如图所示，已知P为⊙O内一点，且OP=2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最 短的弦长为 2 cm.‎ ‎8.如图所示，⊙O的半径为5，弦BC=8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为点D，E为BC延长线上一点，AE=10，则CE的长为 2 .‎ ‎9.如图所示，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，若AB为10cm，点O到BC的距离为4cm．‎ ‎(1)求弦BC的长．‎ ‎(2)经过几秒，△BPC是等腰三角形？‎ ‎ (第9题)图1图2(第9题答图)‎ ‎【答案】(1)如答图1所示，作OD⊥BC于点D，∴BD=BC.∵OB=AB=5(cm)，OD=4(cm)，∴BD=3(cm).∴BC=2BD=6(cm).‎ ‎(2)设经过t(s)后，△BPC是等腰三角形.①当PC为底边时，BP=BC，10-t=6，解得t=4(s).‎ ‎②当BC为底边时，PC=PB，点P与点O重合，此时t=5（s）.‎ ‎③当PB为底边时，PC=BC.如答图2所示，连结AC，作CE⊥AB于点E，则BE=，AE=.‎ ‎∵AB是直径，∴△ABC是直角三角形.∴AC==8. ‎ ‎∵AC2-AE2=BC2-BE2，∴64-（）2=36-（）2，解得t=2.8(s).‎ 综上可知，经过4s或5s或2.8s后，△BPC是等腰三角形.‎ ‎10.如图所示，△ABC是⊙O的内接等边三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥BA，若⊙O的半径为433，则DE的长为(C).‎ A. -1 B. C. -1 D. ‎ ‎(第10题)(第11题)(第12题) (第13题)(第14题)‎ ‎11.如图所示，有半径为2和4的两个同心圆，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形的面积为最大时，它的周长等于(D).‎ A.22+6 B.20+8 C.18+10 D.16+12‎ ‎12.如图所示，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在 ‎ AC上，AD=2CD，P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值等于 ．‎ ‎13.如图所示，⊙O的直径AB=10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP=2，MP=22，那么弦心距OQ为 ．‎ ‎14.如图所示，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB=1，则四边形ABDC的面积的最大值是 ．‎ ‎15.小明学习了垂径定理后，做了以下探究，请根据题目要求帮小明完成探究．‎ ‎(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1所示，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE.请证明此结论．‎ ‎(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如图2所示，PA，PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB，AP相交于点F，再连结AD证明结论成立.请写出证明过程．‎ ‎(3)如图3所示，PA，PB组成⊙O的一条折弦，若C是的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．‎ ‎(第15题)（第15题答图）‎ ‎【答案】(1)如答图所示，连结AD，BD.∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA=∠CDB.∴△ADB为等腰三角形.∵CD⊥AB，∴AE=BE.‎ ‎(2)∵四边形ADBP是圆内接四边形，∴∠PBD+∠PAD＝180°.∵∠PBD+∠PBF=180°,∴∠PBF=∠PAD.∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA=∠CDF.‎ ‎∵CD⊥PA，∴△AFD为等腰三角形.∴∠F=∠A，AE=EF.∴∠PBF=∠F.∴PB=PF.∴AE=PE+PB.‎ ‎(3)AE=PE-PB.‎ ‎16.【陕西】如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为(D).‎ A.5 B. C.5 D.5‎ ‎（第16题） （第17题）‎ ‎17.【十堰】如图所示，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC=6，BD=5，则BC的长为 8 .‎ ‎18.要在半径为1、圆心角为60°的扇形AOB铁皮上截取一块尽可能大的正方形.小明设计如下两种截取方案．‎ 方案一(如图1所示)：点C在OA上，点D，E在OB上，点F在上．‎ 方案二(如图2所示)：点C在OA上，点D在OB上，点E，F在上．‎ 请计算这两种方案中正方形铁皮的面积，帮小明选择合理的方案(参考数据：≈1.41, ≈1.73).‎ ‎（第18题） 图1图2‎ ‎（第18题答图）‎ ‎【答案】方案一：如答图1所示，连结OF，设正方形CDEF的边长为x.∵圆心角为60°，∴OD=x.在Rt△OFE中，OF2=OE2+EF2，即12=x2+（x+x）2，解得x2=.∴S四边形CDEF=x2=≈0.29.方案二：如答图2所示，过点O作OG⊥EF，交CD于点H，交EF于点G，连结OE.设EG=x，则EF＝2x.∵四边形CDEF是正方形，∴OH⊥CD.∴EG=DH=x.∵∠DOC=60°，H为CD中点，∴OH=DH=x.∴OG=OH+HG=x+2x.‎ 在Rt△OEG中，OE2=GE2+OG2，即12=x2+(x+2x)2，解得x2=.∴S四边形CDEF=4x2=2-≈0.27.∴方案一截取的正方形的面积较大，应选方案一.‎